Álgebra de Grupos: Ação de Grupos (exercício 1)

Sobre um grupo $$G$$, com subgrupo $$H$$, define-se o conjunto $$X=\{xH,x\in G\}$$, das classes laterais à esquerda de $$H$$.

a) O mapa $$G\times X\longrightarrow X$$, definido por $$(g,xH)=gxH$$ corresponde a uma ação do grupo $$G$$ sobre $$X$$.

b) Dada a função $$\tau_{g}(xH)=gxH$$, que leva elementos de $$X$$ em elementos de $$X$$ e pertence ao conjunto das permutações de $$X$$, define-se $$\chi:G\longrightarrow S_{x}$$ com $$\chi(g)=gxH$$. Descreva o núcleo do homomorfismo $$\chi$$. Em particular, mostre que $$ker(\chi)\subset H$$.

c) Mostre que, para qualquer subgrupo normal $$N$$ de $$H$$, tem-se $$N\subseteq ker(\chi)$$.

Solução:

a) 

i. $$(1,xH)=(1\cdot x) H = xH$$. Cumpre o axioma (i) da ação de grupos.

ii. Dados $$g,r\in G$$,

\[(g,(r,xH))=(g,(rx)H)=g(rx)H=(gr)xH=(gr,xH).\]

Cumpre o axioma (ii) da ação de grupos.

b) 

Procura-se por $$g\in G$$ tal que $$\chi(g)=\tau_{g}(xH)=xH$$, para todo $$x\in G$$, isto é, a função $$tau_{g}(xH)=Id_{X}$$ (identidade de $$X$$).

Isto ocorre se, e somente se, $$xH=tau_{g}(xH)=gxH$$, para todo $$x\in G$$, logo, para qualquer $$h\in H$$, existe $$h’\in H$$ tal que $$xh=gxh’$$, isto é: $$h” = hh’ = x^{-1}gx$$, de modo que $$x^{-1}gx\in H$$.

\[ker(\chi)=\{g\in G | x^{-1}gx \in H, \forall x\in G\}.\]

Em particular, para $$x=1$$, tem-se $$g = 1^{-1}g 1\in H$$, donde se prova que $$ker(\chi)\subseteq H$$.

c)  

Por hipótese, para qualquer elemento $$n\in N$$, tem-se $$x^{-1}nx\in N$$. Dado que $$N\subseteq H$$, é fato que $$x^{-1}nx \in H$$, portanto $$n\in ker(\chi)$$.