Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercício 3)

Dadas as funções lineares $$A,B:E⟶F$$, prove as afirmações a seguir.

a) $$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$$.

b) $$(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$$.

Solução:

a) $$<ABx,y>=<x,(AB{)}^{\ast }y>$$.

$$<ABx,y>=<Bx,Ay>=<x,B^{\ast }{A}^{\ast }y>$$.

Juntam-se ambas as igualdades para concluir a demonstração.

$$<x,(AB{)}^{\ast }y>=<x,B^{\ast }{A}^{\ast }y>$$, para todo $$x\in E$$ e todo $$y\in F$$, então $$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$$.

b) $$<Ax,y>=<x,Ay>$$.

$$<A^{\ast }y,x>=<y,(A^{\ast }{)}^{\ast }x>⟹<x,A^{\ast }y>=<(A^{\ast }{)}^{\ast }x,y>$$.

Juntam-se ambas as igualdades para concluir a demonstração.

$$<Ax,y>=<(A^{\ast }{)}^{\ast }x,y>$$, para todo $$x\in E$$ e todo $$y\in F$$, então $$A=(A^{\ast }{)}^{\ast }$$.