Para a demonstração, assume-se o conhecimento sobre classes equivalência em álgebra linear.
Teorema: Sejam dois espaços de dimensão finita $$V$$ e $$W$$. Seja $$\tau\in\mathcal{L}(V;W)$$, uma transformação linear. Então $$dim(\tau(V))+dim(ker(\tau))=dim(V)$$.
Lema: Seja $$V$$ um espaço de dimensão finita, e seja $$S$$ um subespaço de $$V$$. Então $$dim(V/S)=dim(V)-dim(S)$$.
Demonstração (Lema): Seja $$\{u_{1},…,u_{r}\}$$ uma base de $$S$$, e seja $$dim(V)=n\geq r$$. Pelo lema do completamento da base, sabemos que existem $$n-r$$ vetores L.I tais que $$V=span(\mathcal{B})$$, com $$\mathcal{B}=\{u_{1},…,u_{r},v_{1},…,v_{n-r}\}$$, um conjunto L.I.
Provaremos que o conjunto das classes de equivalência (espaço vetorial com as operações definidas sobre as classes) é combinação linear de elementos do conjunto $$\{v_{i}+S\}_{i=1}^{n-r}$$ e o conjunto é linearmente independente.
Com efeito, seja $$v\in V$$, é certo que existem escalares tais que $$v=\sum^{n}_{i=1}a_{i}w_{i}$$, para $$w_{i}\in\mathcal{B}$$. Dada uma classe $$v+S$$, faz-se $$v+S=\sum^{n}_{i=1}a_{i}w_{i} +S = \sum^{n}_{i=1}(a_{i}w_{i}+S)$$, pela associatividade da operação no espaço quociente.
Se $$w_{i}\in S$$, é certo que $$w_{i}+S=S$$. Portanto a equação anterior reduz-se a $$\sum^{n-r}_{i=1}(a_{i}v_{i}+S)$$, (lembre-se de que $$v_{i}=w_{i}$$, para $$i\in\{1,…,n-r\})$$. Assim, observamos que o conjunto gerador de $$V/S$$ é $$\{v_{1}+S,…,v_{n-r}+S\}.$$ Provaremos que o conjunto é linearmente independente.
De fato, sabemos que o elemento neutro do espaço quociente é o próprio $$S$$. Assim, encontremos os escalares $$a_{i}$$, para os quais $$(a_{r+1}v_{r+1}+S)+…+ (a_{n-r}v_{n-r}+S) = S$$. Pela associatividade, equivale a $$a_{1}v_{1}+…+a_{n-r}v_{n-r}+S=S$$.
Pela definição da classe da equivalência, $$v+S=S\Longleftrightarrow s\in S$$, então é certo que $$a_{i}=0$$, porque $$v_{i}\notin S$$ e $$i\in\{r+1,…,n-r\}$$.
Demonstramos que $$dim(V/S)=n-r=dim(V)-dim(S)$$.
Demonstração (Teorema do Núcleo e da Imagem): Pelo teorema do Isomorfismo, sabemos que $$\tau(V)\sim \frac{V}{ker(\tau)}$$, portanto $$dim(\tau(V))=dim(V/ker(\tau))$$. Mas este último é igual à expressão $$dim(V)-dim(ker(\tau))$$, dado o lema exibido.
Daqui, $$dim(\tau(V))+dim(ker(\tau))=dim(V)$$.
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