A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta

A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é $$PV=nRT$$ , em que n é o número de mols de gás e $$R=0,0821$$ é a constante do gás. Suponha que, em um certo instante, $$P=8,0$$ atm, e está crescendo a uma taxa de 0,10 atm/min, e $$V=10L$$, e está decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante, se $$n=10$$ mols.

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Solução:

Note que $$P^{\prime }(t)=\frac{dP}{dt}=0,1atm/min$$ e $$V^{\prime }(t)=\frac{dV}{dt}=-0,15L/min$$.

Derivemos a equação completa pelo tempo. Observe que, exceto por $$R$$ e $$n$$, as outras variáveis são funções do tempo, por isso, é necessário utilizar a regra da cadeia.

$$\frac{d(P\cdot V)}{dt}=\frac{d(nRT)}{dt}⟶P^{\prime }V+P{V}^{\prime }=nR{T}^{\prime }(t)⟶\frac{dT}{dt}=\frac{P^{\prime }V+P{V}^{\prime }}{nR}$$.

O instante em questão, para o qual se pede a derivada da temperatura, é quando $$P=8,0$$ e $$V=10L$$. Assim, basta substituir os valores das derivadas obtidas.

$$\frac{dT}{dt}=\frac{P^{\prime }V+P{V}^{\prime }}{nR}=\frac{0,1\cdot 10+8,0\cdot (-0,15)}{10\cdot 0,0821}\cong –0,244$$