Cálculo I
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Aplicações da Derivada – Exercício 4

Se dois resistores com resistências $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por

\[\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\].

Se $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ estão aumentando a taxas de 0,3 /s e 0,2 /s, respectivamente, quão rápido R está variando quando $$R_{1}=80$$Ω e $$R_{2}=100$$Ω.

\[\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\Longrightarrow \frac{1}{R}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}\Longrightarrow R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\].



Solução:

Derivamos a equação obtida, lembrando-nos de que $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ são funções de $$t$$, por isso, deve-se aplica a regra do produto e da multiplicação.

No denominador de $$R$$: $$(R_{1}R_{2})’=(R’_{1}R_{2}+R_{1}R’_{2})$$.

No numerador de $$R$$: $$(R_{1}+R_{2})’=R’_{1}+R’_{2}$$.

\[\frac{dR}{dt}=\frac{(R_{1}R_{2})’\cdot(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2})(R_{1}+R_{2})’}{(R_{1}+R_{2})^{2}}=\]

\[\frac{(R’_{1}R_{2}+R_{1}R’_{2})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2})(R’_{1}+R’_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}}=\]

\[\frac{(0,3\cdot 100+0,2\cdot 80)(100+80)-(8000)(0,2+0,3)}{180^{2}}=0,132\]

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