Um ponto desloca-se sobre a hipérbole $$xy=4$$, de tal modo que a velocidade de $$y$$ é $$y'(t)=\beta$$, com β constante. Mostre que a aceleração da abscissa $$x$$ é $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{\beta^{2}}{8}x^{3}$$.
Solução:
Considere $$y=(4/x)$$.
Derivemos a função toda por $$t$$.
\[\frac{d}{dt}(xy)=\frac{d}{dt}(4)=0\longrightarrow x'(t)y(t)+x(t)y'(t)=0\Longrightarrow x'(t)(4/x) + x(t)\beta=0\Longrightarrow x'(t)=-\frac{x^{2}\beta}{4}\]
Note que, ao derivarmos $$x'(t)$$, derivaremos a expressão $$x^{2}(t)$$. Aqui, é necessário aplicar a regra da cadeia, pois a derivada ocorre em $$t$$, para um produto $$x\cdot x$$.
\[\Longrightarrow x”(t)=\frac{d}{dt}(-\frac{x^{2}\beta}{4})=-\frac{x(t)x'(t)\beta}{2}=-\frac{x(t)\cdot (-\frac{x^{2}\beta}{4})}{2}=\frac{x^{3}(t)\beta}{8}\]
