Exemplo de soma direta de subespaços
Seja $$V$$ um espaço vetorial com os subespaços $$V_{1},V_{2}$$ e $$U$$. Se $$U\oplus V_{1} = U\oplus V_{2}$$, então $$V_{1}=V_{2}$$ ? Contraexemplo:
Álgebra Linear
Mostre a propriedade de matrizes
a) Mostre que, se $$A$$ é uma matriz $$m\times n$$, tal que $$AX = 0$$, para toda matriz $$X$$ $$n\times 1$$, então $$A = 0$$...
Verifique as afirmações sobre matrizes
Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). a) Se $$A$$ e $$B$$ são duas matrizes $$n\times n$$ e $$AB=BA$$,...
Se dois funcionais lineares têm o mesmo núcleo
Sejam $$f$$ e $$g$$ dois funcionais lineares em um espaço vetorial $$V$$ tais que $$ker(f)=ker(g)$$. Prove que eles são proporcionais, isto é: existe $$\gamma\in\mathbb{K}$$ tal...
Subespaços Vetoriais – Exercício 7
Determine um conjunto gerador para o subespaço U={(x,y,z,t)∈R4 | x-y+z+t=0 e -x+2y+z-t=0}. Solução:
Transformação Linear – Exercício 13
Sejam A, P : E → E operadores lineares não nulos tais que AP = 0. Prove que existem vetores diferentes de zero u ≠...
Independência Linear – Exercício 1
Quais os conjuntos a seguir são linearmente independentes no espaço vetorial R³? a) {(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) , (2,2,5)}. b) {(1,1,1), (1,2,1), (3,2,-1)}. Solução:
Subespaço Vetorial – Exercícios
Lista de exercícios resolvidos sobre subespaços vetoriais. •Considere o espaço vetorial real $$𝑉=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})$$ e o subconjunto 𝑈={𝑝(𝑥)∈𝑉 | ∫ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥+2𝑝′(0)=0}. a) Mostre que o...
Traço Matricial – Exercício 1
Prove que tr(ATA)=0 ⇔ A = 0, para qualquer matriz real $$m\times n$$. Solução no vídeo a seguir:
Espaços Vetoriais – Exercícios resolvidos
Exercícios resolvidos sobre os axiomas de um Espaço Vetorial. ♦ Em $$E=\mathbb{R}^{2}$$, mantenhamos a definição do produto $$\alpha v$$ de um número por um vetor,...
Axiomas de Espaço Vetorial – Exercício 5
Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais e considere o corpo dos números reais. Definamos as operações: Soma: (x1,y1)...
Transformação Linear – Exercício 12
Determine uma transformação linear $$T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3}$$ tal que \[ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} | x+y+z=0\}.\] Solução: