Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (exercício 5)
Seja $$V=\mathcal{F}(X,R)$$ o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em um conjunto X. Fixado $$t_{0} \in X $$, mostre que o conjunto $$U=\{f(x)∈V...
Álgebra Linear
Axiomas de Espaço Vetorial – Exercício 3
Sejam v,w e u elementos de um espaço vetorial $$V$$ . Prove que é válida a lei do cancelamento: Se $$v+w =v+u$$, então $$w=u$$. Solução:
Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (exercício 4)
Sejam $$W_{1}$$ e $$W_{2}$$ subespaços de um espaço vetorial $$V$$ tais que $$W_{1} + W_{2} = V$$ e $$W_{1}\cap W_{2} = \{0\}$$. Determinar que, para...
Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 2
Seja $$P=I-uu^{T}$$, em que $$u=e_{r}-e_{s}$$, e $$e_{i}$$ é um elemento da base canônica de $$\mathbb{R}^{n}$$. Descreva o resultado do produto matricial $$e^{t}_{j}P$$, para $$j\in\{1,..,n\}$$. Solução:...
Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 1
Dada uma matriz $$A_{m\times n}$$ com entradas reais, descreva o resultado do produto $$C=E_{ik}A$$, em que $$E_{ik}=I_{m\times m}-\beta\cdot e_{i}e^{T}_{k}$$, $$\beta\in\mathbb{R}$$, $$k\in\mathbb\{1,…,m\}$$ e $$e_{i},e_{k}$$ são elementos...
Produto Interno – Exercício 5
Mostre que se $$w_{1},…,w_{k}$$ são vetores não nulos ortogonais entre si e $$x=α_{1} w_{1}+…+α_{k} w_{k}$$, então $$x= proj_{w_{1}} (x)+…+proj_{w_{k}} (x)$$. Lista de Exercícios Resolvidos sobre...
Álgebra Linear – Teorema da Matriz de Mudança de Base
Teorema Dado um espaço vetorial de dimensão finita $$V$$ sobre um corpo $$\mathcal{K}$$ com duas bases fixadas, $$\mathcal{S}=\{v_{1},..,v_{n}\}$$ e $$\mathcal{S}’=\{u_{1},..,u_{n}\}$$. Seja $$w\in V$$ tal que...
Álgebra Linear – Matrizes – Autolvalores (exercício 5)
Alguns resultados de Autovalores e Autovetores Exercício 1 Demonstre a equivalência das afirmações a seguir i) $$(\lambda , v)$$, com $$v\neq 0$$, é autopar da...
Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercício 3)
Dadas as funções lineares $$A, B: E\longrightarrow F$$, prove as afirmações a seguir. a) $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$. b) $$(A^{*})^{*} = A$$. Solução: a) $$<ABx,y>=<x,...
Álgebra Linear – Isomorfismo da Soma Direta Interna e Externa
Definição Dados os subespaços vetorias $$V_{i}$$ de um espaço $$V$$, define-se $$V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus …\oplus V_{n}$$ como a soma direta interna, se, e somente se, todo...
Produto Interno – Exercício 2
Questão Seja $$< , >$$ um produto interno no espaço vetorial real $$F$$. Dado um isomorfismo $$A:E\longrightarrow F$$, ponha $$[u,v]=<Au,Av>$$ para quaisquer $$u,v\in E$$. Prove...
Álgebra Linear – Projeção (exercício 2)
Exercício Seja $$w\in V=\mathbb{R}^{n}$$ tal que $$||w||_{2}=1$$. P = $$ww^{t}$$, e $$Q=I-2P$$. Demonstre os itens a seguir. a) $$P$$ é projetor ortogonal. b) $$Qw=-w$$. c)...