Álgebra Linear – Ortogonalidade da Matriz de Householder
Questão Prove que a matriz de Householder, $$H=I-\frac{2}{|u|^{2}}\cdot u\otimes u^{T}$$, é uma matriz ortogonal. Observação: O produto exterior é igual à matriz produto de coordenadas...
Álgebra
Álgebra Linear – Sistemas Lineares Homogêneos(Teorema)
Teorema: Seja uma matriz $$A\in\mathcal{M}({\mathbb{R}})_{m\times n}$$, com $$m<n$$. Então o sistema linear $$Ax=0$$ admite uma solução não trivial (não nula). Demonstração: Passo 1 Por indução,...
Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercícios 2)
Questões Anteriores Exercício Seja $$f^{*}:\mathbb{R}\longrightarrow E$$ a adjunta do funcional linear $$f: E\longrightarrow \mathbb{R}$$. Prove que $$v=f^{*}(1)$$ é vetor de $$E$$ que corresponde a $$f$$...
Exercícios de Homomorfismo de Anéis
Questão Seja $$\phi: A_{1}\longrightarrow A_{2}$$ um homomorfismo de anéis. Seja $$I$$ um ideal de $$A_{1}$$ contido no $$ker(\phi)$$. Mostre que a aplicação: $$\bar{\phi}: A_{1}/I\longrightarrow A_{2}$$;...
Álgebra de Anéis: inteiros módulo n (exercícios)
Questão Seja $$n$$ um inteiro positivo que não é primo. Mostre que o anel $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$ não é um domínio. Solução: Podemos escolher $$a,b\in\mathbb{Z}$$, distintos e...
Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercícios)
Questão Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove: i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow...
Exercícios de Homomorfismos de Grupos
Questão (Propriedades dos Homomorfismos) Seja os grupos $$G$$ e $$H$$, com suas respectivas operações de produto (lei da composição), e seja o homomorfismo $$\phi G\rightarrow...
Exercícios sobre Subgrupos
Questão (Lema de Caracterização de Subgrupos) Seja $$H\subset G$$, onde $$G$$ é um grupo. $$H$$ é subgrupo de $$G$$ se, e somente se, para...