Seja S⊂M um conjunto denso. Dada uma sequência
[Espaços Métricos] Seja S⊂M um conjunto denso. Dada uma sequência (xn) no espaço métrico M, suponha que exista x∈M tal que limn→∞ d(xn,s)=d(x,s), para todo...
Espaços Métricos
Funções Contínuas – Teorema 1
Dados os espaços métricos $$M,N_{1}$$ e $$N_{2}$$, uma função $$f:M\longrightarrow N_{1}\times N_{2}$$ é dada por suas coordenadas do seguinte modo: $$f(p)=(f_{1}(p),f_{2}(p))$$, para todo $$p\in M$$...
Todo subespaço vetorial normado tem interior vazio
Prove que, num espaço vetorial normado $$E$$, todo subespaço vetorial $$U$$ próprio tem interior vazio. Conclua que, para todo $$a\in E$$, a variedade afim $$a+U=\{a+v;...
Espaços Normados – Exercício 1
Seja $$E$$ um espaço vetorial normado, e seja $$U\subset E$$ um subespaço do primeiro. Prove que $$inf\{||v||, v\in U\}=0$$. Demonstração: Demonstraremos que, dado um ε>0,...
Conjuntos Fechados – Exercício 1
Seja um espaço vetorial normado $$E$$. Dado um conjunto $$A\subset E$$ limitado, prove que o fecho de $$A$$ também é limitado. Demonstração: Por hipótese, existe...
Espaços Métricos – Funções Contínuas – Exercício 1
Sejam $$f,g: M\longrightarrow N$$ contínuas, em que $$M$$ e $$N$$ são espaços métricos. Dado $$a\in M$$, suponha que toda bola de centro $$a$$ contenha um...