Um trecho rodoviário deve ser dividido em lotes iguais, quanto à quilometragem, a certo número de empreiteiros que se candidatarão para executar a terraplanagem. Se há 5 empreiteiros a mais, cada lote diminui de 20 km e, se há 6 empreiteiros a menos, cada lote aumenta de 57 km. A extensão, em km, do trecho em questão é igual a:
Confira nossa lista de exercícios sobre sistemas de equações!
a) 855
b) 960
c) 969
d) 1064
e) 1140
Solução:
Digamos que
$$x$$ -> número de empreiteiros
$$y$$ -> extensão de cada lote em km
$$T$$ -> comprimento total do trecho
Do enunciado, podemos montar duas equações.
$$\frac{T}{x} = y$$
$$\frac{T}{x + 5} = y – 20$$
$$\frac{T}{x – 6} = y + 57$$
Agora substituímos a equação 1 na 2.
$$\frac{T}{x + 5} = \frac{T}{x} – 20 \longrightarrow \frac{T}{x} – \frac{T}{x + 5} = 20 \longrightarrow \frac{T(x + 5) – Tx}{x(x + 5)} = 20 \longrightarrow T(x + 5 – x) = 20x(x + 5) \longrightarrow 5T = 20x(x + 5) \longrightarrow T = 4x(x + 5)$$
Agora substituímos esse resultado na equação 3, onde tiver T.
$$\frac{4x(x + 5)}{x – 6} = \frac{4x(x + 5)}{x} + 57 \longrightarrow 4x^{2} + 20x = (4x + 20)(x – 6) + 57(x – 6) \longrightarrow 4x^{2} + 20x = 4x^{2} – 24x + 20x – 120 + 57x – 342 \longrightarrow 33x = 462 \longrightarrow x = 14$$
Temos 14 empreiteiros. Agora é só substituir na relação que encontramos entre $$T$$ e $$x$$.
$$T = 4\times 14(14 + 5) \longrightarrow T = 1.064\, km$$
Portanto, o trecho possui 1.064 km, letra D.
