Equações Polinomiais – Exercícios

Lista de exercícios resolvidos sobre equação polinomial, teorema de Girard, teorema do resto, raízes de polinômios, método da chave, Briot-Ruffini.

• (UNESP) Determine os zeros do polinômio p(x) = x³ + 8 e identifique a que conjunto numérico eles pertencem.
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• Dada a equação polinomial com coeficientes reais x³-5x²+9x-a = 0,
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação.
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• (UNESP) A equação polinomial x³ – 3x² + 4x – 2 = 0 admite 1 como raiz. Suas duas outras raízes são
(A) (1+ √3·i ) e (1- √3· i ) . | (B) (1 + i) e (1 – i). | (C) (2 + i) e (2 – i).
| (D) (–1 + i) e (–1 – i). | (E) (-1+ √3·i ) e (-1- √3· i ).
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• (UECE) Se o polinômio $$P(x) = x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+k$$, onde k é um número real, é divisível por x–1, então, o valor da soma P(2) + P(–2) é
A) 10. |  B) 30.  | C) 20. | D) 40.
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• (UNESP) Considere os polinômios $$p(x)=\begin{bmatrix} x&1&0\\2&x&-1\\m&x&x\end{bmatrix}$$  e $$q(x)=\begin{bmatrix} 1&3\\1&x\end{bmatrix}$$. Para que p(x) seja divisível por q(x), é necessário que m seja igual a
(A)30. |  (B)12. | (C)–12. | (D)–3. | (E)–30.
Gabarito: a)
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• (UNICAMP) Sabendo que 𝑎 é um número real, considere os polinômios 𝑝(x)=𝑥³-x²+a e 𝑞(𝑥)=x²+x+2. Se 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑞(𝑥), então
a) 𝑎=3 | b) 𝑎=2. | c) 𝑎 =-1. | d) 𝑎 =-4.
Gabarito: d)
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• (UNESP) Sabe-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 da equação x⁵ – 3·x⁴ + 4·x³ – 4·x² + 3·x – 1 = 0. As outras raízes dessa equação, no Conjunto Numérico dos Complexos, são
(A) (– 1 – i) e (1 + i). | (B) (1 – i)². | (C) (– i) e (+ i). | (D) (– 1) e (+ 1). | (E) (1 – i) e (1 + i).
Gabarito: c)
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(UNICAMP) O polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑏x + 𝑐 é divisível por 2𝑥² − 𝑥 + 4. O valor de 𝑐 + 2𝑏 − 𝑎 é:
a) 9. | b) 15. | c) 21. | d) 25.
Gabarito: a)
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• (UNESP) Dado que as raízes da equação x³ – 3x² – x + k = 0, onde k é uma constante real, formam uma progressão aritmética, o valor de k é:
(A) – 5. |  (B) – 3.  | (C) 0. | (D) 3. | (E) 5.
Gabarito: d)
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• (UNICAMP) Seja 𝑎 um número real e considere o polinômio f(x)=x³+(a+1) x²+(a+2)x+2, que tem 𝑥=-1 como uma de suas raízes.
a) Determine todos os valores de 𝑎 tais que 𝑥 =-1 é a única raiz real.
b) Determine todos os valores de 𝑎 tais que as soluções de 𝑓(x)= 0 sejam números inteiros.
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(ITA) Seja 𝑝(𝑥) um polinômio não nulo. Se 𝒙³ − 𝟒𝒙² + 𝟓𝒙 − 𝟐 e 𝒙³ − 𝟓𝒙² + 𝟖𝒙 − 𝟒 são divisores de 𝑝(𝑥), determine o menor grau possível de 𝑝(𝑥).
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• (FUVEST) Considere o polinômio p(x) = x⁴+1.
a) Ache todas as raízes complexas de p(x).
b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.
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