2ª Fase - UnespPolinômios
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UNESP 2014/2 – 2ª Fase – Q.24

Determine os zeros do polinômio p(x) = x³ + 8 e identifique a que conjunto numérico eles pertencem.

Solução:

O polinômio possui três raízes, obtidas pela equação $$x=\sqrt[3]{-8}$$. Observa-se que o número real $$x=-2$$ satisfaz a equação.  Como o polinômio possui mais duas raízes, vamos dividir, pelo dispositivo de Briot-Ruffini, o polinômio original pelo monômio $$x+2$$, obtido da primeira raiz.

O polinômio resultante mostra que

\[x^{3}+8 = (x+2)(x^{2}-2x+4).\]

Agora, basta calcularmos as raízes de x²-2x+4, por Bhaskara. Nota-se que 

\[x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot 1 \cdot 4}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{2}=\]

\[\frac{2\pm i\sqrt{4\cdot 3}}{2}=\frac{2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=1\pm i\sqrt{3}.\]

O conjunto solução é $$\{-2, 1+2i\sqrt{3}, 1-2i\sqrt{3}\}$$. A primeira raiz é real; as duas raízes restantes são números complexos conjugados.

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