Equações Trigonométricas – Exercício 8

O conjunto solução da equação tg²(x)=√3 tg(x) é

Solução:

Façamos a substituição $$u=tg(x)$$, de modo que a equação torna-se $$u^2-\sqrt{3}u=0$$, ou seja, temos de resolver a equação

$$u(u-\sqrt{3})=0.$$

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As duas soluções são $$u=0$$ ou $$u=\sqrt{3}$$. No primeiro caso, temos $$tg(x)=u=0$$. Qualquer arco da forma $$2k\pi$$, para qualquer inteiro $$k$$, é solução.

No segundo caso, as soluções da primeira volta do círculo trigonométrico para $$u=tg(x)=\sqrt{3}$$ são π/3 e 4π/3. Assim, qualquer solução deste caso é da forma $$\frac{\pi }{3}+k\pi$$, para qualquer inteiro $$k$$.

O conjunto solução é, portanto,  $$\{2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$$.