Resolva a equação $$(cos(x)+sen(x))^{2}=\frac{1}{2}$$.
Solução:
No lado esquerdo da equação, aplicamos o trinômio quadrado perfeito, de modo que a equação torna-se
\[cos^{2}(x)+sen^{2}(x)+2cos(x)sen(x)=1/2,\]
assim, temos $$1+2cos(x)sen(x)=1/2$$, o que resulta em
\[2cos(x)sen(x)=-\frac{1}{2}.\]
Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre Equações Trigonométricas
Note que $$2cos(x)sen(x)=sen(2x)$$, expressão fornecida pela soma de arcos. Então a equação é simplesmente $$sen(2x)=-\frac{1}{2}$$.
Se considerarmos o arco $$u=2x$$, duas soluções na primeira volta do círculo trigonométrico são 5π/6 e 7π/6. Qualquer outra solução $$u$$ é dada a partir dessas duas. Então o conjunto de soluções é $$\{7\pi/6 + 2k\pi\}\cup \{11\pi/6 + 2k\pi\}$$, para qualquer inteiro $$k$$. Como $$u=2x$$, temos $$x\in \{7\pi/12 + k\pi\}\cup \{11\pi/12 + k\pi\}$$, para qualquer inteiro $$k$$.
