Exercícios sobre soma de uma PG

Vamos praticar a soma de uma progressão geométrica? Separamos alguns exercícios resolvidos e comentados sobre a soma de uma progressão geométrica (PG). Divirtam-se!

♦ (ESPM) Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, …), sendo a_n o n-ésimo termo e S_n a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que
A) S_n = 2.a_n
B) S_n = a_n + 1
C) S_n = a_n+1  + 1
D) S_n = a_n+1  – 1
E) S_n = 2.a_n + 1
Solução

♦ (UEL) Os divisores positivos do número 3¹⁰ são 3⁰, 3¹,3², etc. A soma de todos esses divisores é
a) (3¹¹-1)/2
b) (3¹⁰-1)/2
c) (3⁹-1)/2
d) 3¹⁰
e) 3¹⁰-1
Solução

♦ (Mackenzie) Sejam l₁, l₂, …, l₁₀₀ os lados dos quadrados Q₁, Q₂, …, Q₁₀₀, respectivamente.
Se l₁ = 1 e l_k = 2l_k-1 , para k = 2, 3, …, 100, a soma das áreas desses quadrados é igual a…Solução.

♦Sabendo-se que o limite da soma $$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+…$$ é 100, determine o valor de x. Solução.

♦ (UERJ) Considere a seguinte equação:

\[x(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+…)=18, \text{para } x\in\mathbb{R}.\]

Sabendo que o primeiro membro dessa equação é a soma dos termos de uma progressão geométrica
infinita, o valor de x é igual a: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12
Solução.

♦ (ITA) Seja (a₁, a₂, a₃;…) uma progressão geométrica (PG). infinita de razão a₁, com 0< a₁<1 , e soma igual a 3a₁. A soma dos 3 primeiros termos dessa progressão geométrica é:

a) 8/27
b) 20/27
c) 26/27
d) 30/27
e) 38/27
Solução

♦ (UFRGS-RS–2016) Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros a seguir.

O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da
altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente. Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é

A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.
Solução

♦ (EsPCex) Considere i a unidade imaginária. A soma infinita $$ 5i -\frac{5}{2} -\frac{5i}{4}+\frac{5}{8}-…$$, onde o n-ésimo termo é dado por $$5i^{n}/2^{n−1}$$ (n=1,2,3…) , resulta no número complexo cujas partes real e imaginária são, respectivamente, iguais a… Solução.