Uma inequação do segundo grau é uma expressão matemática que envolve uma variável elevada ao quadrado (segundo grau) e pode ser representada na forma 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐<0, , 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐≤0, 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 ≥ 0 , em que 𝑎, 𝑏, e 𝑐 são constantes e 𝑥 é a variável. O objetivo é determinar os intervalos nos quais a expressão é verdadeira.
São exemplos de inequações do segundo grau
- x²-3x-5<0,
- 4-4x²+x≥0,
- x²+2x>0.
Para operar inequações do segundo grau, o conteúdo básico que você deve ter em mente é
- como resolver uma equação por Bháskara,
- conhecer a concavidade da parábola com a qual está trabalhando (sinal de a),
- esboçar corretamente o gráfico da parábola, e
- conhecer os intervalos de crescimento e decrescimento da parábola.
De modo geral, comece por rearranjar a inequação de modo que todos os termos estejam de um lado e zero esteja do outro lado. Em seguida, resolva a equação quadrática normalmente para encontrar os pontos críticos (as raízes). Utilize os pontos críticos para dividir o eixo x em intervalos. Teste um ponto em cada intervalo na inequação original para determinar se o intervalo satisfaz a desigualdade. Represente graficamente os intervalos que satisfazem a desigualdade na reta numérica ou no plano cartesiano.
Exemplo Resolvido
Para quais valores reais de $$x$$ temos x²-4x ≥ 0?
Solução:
A equação associada é x²-4x=0. Observamos que $$x(x-4) = 0$$, então $$x=0$$ ou $$x=4$$. A concavidade da parábola é voltada para cima, e existem duas raízes reais distintas, logo um esboço da parábola é
Procuramos pelos locais cujos sinais sejam positivo, então identificamos as regiões $$x\leq 0$$ ou $$x\geq 4$$. Em termos de conjuntos, a solução da nossa inequação é $$\{x\in\mathbb{R} | x\leq 0\; \text{ou}\; x\geq 4\}$$.
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