Os valores de x para os quais a função f(x) = log(3–x) (x² – 8x + 15) exista são:
a) x < 3 e x ≠ 2
b) x < 3 ou x > 5
c) x > 5
d) x < 3 ou x > 5 e x ≠ 2
e) 3 < x < 5
Solução:
A condição de existência dos logaritmos diz que o logaritmando deve ser maior que zero [x² – 8x + 15>0], que a base deve ser superior a zero [3-x>0] e que a base deve ser diferente de 1.
1) Resolvendo a inequação do segundo grau x² – 8x + 15>0, obtemos $$x=3$$ ou $$x=5$$, por Bháskara. Estudando os sinais da inequação do segundo grau, descobrimos que os valores para os quais existe a função logarítmica são $$x<3$$ ou $$x>5$$.
2) Vamos estudar os sinais da inequação do primeiro grau para a base do logaritmo. A fim de que $$3-x>0$$, teremos $$x<3$$. Além disso, $$3-x\neq 1$$, logo $$x\neq 2$$.
Conclusão: o logaritmo existirá para $$x<3$$ ou $$x>5$$, e $$x\neq 2$$.
