Integral de x*sec²(x)

Vamos calcular $$\int  x sec^{2}(x)dx$$.

Solução:

Se tomarmos $$u=x$$ e $$dv = sec^{2}(x) dx$$, a função $$v(x)$$ é claramente igual à tangente de x, pois $$tg(x)’ = sec^{2}(x)$$. Então a integração por partes fornece

\[\int x sec^{2}(x)dx= xtg(x)-\int (x)’tg(x)dx = \]

\[xtg(x)-\int tg(x)dx.\]

Observe que a última integral tem resultado igual a $$Ln(cos(x)) + K$$. Desse modo, teremos

\[\int x\cdot sec^{2}(x)dx = x\cdot tg(x) + Ln(cos(x)) + K.\]