Integral de x*sec²(x)

Vamos calcular $$\int xse{c}^2(x)dx$$.

Solução:

Se tomarmos $$u=x$$ e $$dv=se{c}^2(x)dx$$, a função $$v(x)$$ é claramente igual à tangente de x, pois $$tg(x{)}^{\prime }=se{c}^2(x)$$. Então a integração por partes fornece

$$\int xse{c}^2(x)dx=xtg(x)-\int (x{)}^{\prime }tg(x)dx=$$

$$xtg(x)-\int tg(x)dx.$$

Observe que a última integral tem resultado igual a $$Ln(cos(x))+K$$. Desse modo, teremos

$$\int x\cdot se{c}^2(x)dx=x\cdot tg(x)+Ln(cos(x))+K.$$