Seja uma função $$f:A\longrightarrow B$$.
a) Prove que $$X\subset f^{-1}(f(X))$$, para todo $$X\subset A$$.
b) Prove que a função é injetora se, e somente se, $$f^{-1}(f(X))=X$$, para todo $$X\subset A$$.
Demonstração
a) Suponha haver $$p\in X$$, com $$p\notin f^{-1}(f(X))$$.
De $$p\notin f^{-1}(f(X))$$ e da definição de $$f^{-1}(f(X))$$, tem-se que $$f(p)\notin f(X)$$.
Mais ainda: de $$f(p)\notin f(X)$$, tem-se que, para todo $$x\in X$$, $$f(p)\neq f(x)$$. Mas, em particular, $$p=x$$, pois $$p\in X$$. Logo, da hipótese de que $$f$$ é função, $$f(p)=f(x)$$, o que contradiz a hipótese inicial de que $$p\notin f^{-1}(f(X))$$.
Prova-se que, se $$p\in X$$, não se pode ter $$p\notin f^{-1}(f(X))$$, isto é, $$p\in f^{-1}(f(X))$$.
Com este resultado, basta provarmos a afirmação a seguir para demonstrar o item (b) do problema.
b) Provaremos a afirmação: A $$f$$ é injetora se, e somente se, $$f^{-1}(f(X))\subset X$$.
(i) Seja $$f$$ uma função injetora.
Dado $$p\in f^{-1}(f(X))$$, tem-se $$f(p)\inf(X)$$. Daqui, existe $$x\in X$$ tal que $$f(x)=f(p)$$. Pela hipótese da função injetora, tem-se que $$x=p$$, ou seja, $$p\in X$$.
Provou-se, portanto, que $$f^{-1}(f(X))\subset X$$.
(ii) Assume-se que $$f^{-1}(f(X))\subset X$$.
Sejam $$x,p\in A$$ tais que $$f(p)=f(x)$$. Na hipótese, põe-se $$X=\{x\}$$.
Assim, $$f^{-1}(f(\{x\}))\subset \{x\}$$. Por outro lado, nota-se que $$p\in f^{-1}(f(\{x\}))$$, logo $$p\in\{x\}$$, ou seja, $$p=x$$.
Fica demonstrado que $$f$$ é uma função injetora.
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