Dizemos que uma matriz invertível $$A$$ é ortogonal, se $$A^{-1}=A^{T}$$.
a) Verifique que a matriz $$M=\left[\begin{array}{cc} cos(\theta) & -sen(\theta)\\ sen(\theta) & cos(\theta) \end{array}\right]$$ é ortogonal, para $$\theta\in [0,2\pi)$$.
b) Mostre que, se $$A$$ e $$B$$ são matrizes ortogonais, então $$AB$$ é ortogonal.
c) Mostre que, se uma matriz diagonal $$D$$ é ortogonal, então as entradas não nulas de $$D$$ são iguais a 1 ou -1.
Observação: todas as matrizes acima pertencem a $$\mathcal{M}(\mathbb{R})_{n\times n}$$.
Solução:
a) Observamos que $$MM^{T}=$$
\[\left[\begin{array}{cc} cos(\theta) & -sen(\theta)\\ sen(\theta) & cos(\theta) \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc} cos(\theta) & sen(\theta)\\ -sen(\theta) & cos(\theta) \end{array}\right]=\]
\[\left[\begin{array}{cc} cos^{2}(\theta) +sen^{2}& cos(\theta)sen(\theta)-sen(\theta)cos(\theta)\\ sen(\theta)cos(\theta)-cos(\theta)sen(\theta) & cos^{2}(\theta)+sen^{2}(\theta) \end{array}\right].\]
Como $$cos^{2}(\theta)+sen^{2}(\theta)=1$$, temos $$MM^{t}=$$
\[\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right].\]
b) Por hipótese, como $$AA^{T}=A^{T}A=BB^{T}=B^{T}B=I$$. Usando a propriedade da transposição do produto de matrizes, notamos que $$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$, então $$(AB)(AB)^{T}=$$
\[ABB^{T}A^{T}=AA^{T}=I.\]
c) A transposta da matriz diagonal é igual a ela mesma! Então $$DD^{T}=DD=$$
\[\begin{pmatrix}
d_{11}& 0& . &. \\
0& d_{22}& & \\
.& 0& d_{33}& \\
.& & & \\
.& & &d_{nn} \\
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
d_{11}& 0& . &. \\
0& d_{22}& & \\
.& 0& d_{33}& \\
.& & & \\
.& & &d_{nn} \\
\end{pmatrix}
=\]
\[\begin{pmatrix}
d_{11}^{2}& 0& . &. \\
0& d_{22}^{2}& & \\
.& 0& d_{33}^{2}& \\
.& & & \\
.& & &d_{nn}^{2} \\
\end{pmatrix}=I.\]
A última igualdade equivale a dizer que $$d_{i i}^{2}=1$$, para $$i\in\{1,…,n\}$$, donde se conclui que $$d_{i i}\in\{-1,+1\}$$.
