Números Complexos – Exercício 12

Qual é o conjunto das imagens dos complexos z tais que |z + 1| = |z – 1|?

a) reta
b) circunferência
c) elipse
d) hipérbole

Solução:

Seja $$z = a+bi$$, então $$|z+1|^{2}=|(a+1)+bi|^{2}=(a+1)^{2}+b^{2}$$. Também calculamos que $$|z-1|^{2}=|(a-1)+bi|^{2}=(a+1)^{2}+b^{2}$$.

Se elevarmos ao quadrado os dois lados da equação, obtemos |z+1|²=|z-1|², que fornece a igualdade

\[(a+1)^{2}+b^{2} = (a-1)^{2}+b^{2} \Longrightarrow\]

\[a^{2}+2a+1 = a^{2}-2a+1\Longrightarrow\]

\[2a–(2a)+1-1=0\Longrightarrow 4a = 0.\]

Concluímos que $$a=0$$. Os números complexos que satisfazem a igualdade são da forma $$z = bi$$, conjunto representado pela reta a =0 no plano Argand-Gauss.

Resposta: a)