Sejam $$f$$ e $$g$$ dois funcionais lineares em um espaço vetorial $$V$$ tais que $$ker(f)=ker(g)$$. Prove que eles são proporcionais, isto é: existe $$\gamma\in\mathbb{K}$$ tal que $$f(x)=\gamma\cdot g(x)$$, para todo $$x\in V$$.
Solução:
Fixado $$x_{0}\notin ker(f)$$, sabemos, por um lema, que qualquer $$x\in V$$ é escrito como $$x=\alpha\cdot x_{0} + z$$, com $$z\in ker(f)$$. Além disso, como $$x_{0}$$ não pertence ao núcleo dos funcionais, existe $$\gamma\in\mathbb{K}$$ tal que $$f(x_{0})=\gamma\cdot g(x_{0})$$.
Podemos escrever, então, que
\[f(x) = f(\alpha\cdot x_{0}+z)= \alpha f(x_{0})+f(z)=\gamma\cdot\alpha g(x_{0}) + g(z) (*),\]
pois $$f(z)=g(z)=0=\gamma\cdot g(z)$$, uma vez que $$z\in ker(f)=ker(g)$$.
Daqui, temos $$(*) = \lambda\cdot[g(\alpha\cdot x_{0}+z)] = \gamma\cdot g(x)$$.
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