Álgebra Linear
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Funcionais Lineares – Exercício 2

Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$\varphi$$ um funcional linear de $$V^{*}$$. Se $$v_{0}\notin ker{\varphi}$$, prove que $$V=ker(\varphi) + span \{v_{0}\}$$. Em outras palavras, prove que, dado $$v\in V$$, existem $$w\in ker(\varphi)$$ e $$c\in \mathbb{R}$$ tais que $$v = w + cv_{0}$$.



Solução:

Seja $$v\in V$$. Se $$\varphi(v)=0$$, então podemos escrever $$v=v+ 0\cdot v_{0}$$. O que prova a afirmação para este caso.

Agora, suponha que $$\varphi(v)=\alpha$$. Como α e φ(v0) são números reais, existe uma constante c tal que α = cφ(v0). Neste caso, teremos

\[\varphi(v) = c\cdot \varphi(v_{0}) = \varphi(c\cdot v_{0}).\]

Daqui, podemos escrever que $$\varphi(v – cv_{0})=0$$, ou seja, $$v-cv_{0}\in ker(\varphi)$$, portanto existe $$w\in ker(\varphi)$$ tal que $$w = v – cv_{0}$$.

Tags: Funcionais Lineares

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