Solução:

O post Integral por partes – Exercício apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Resolva as integrais abaixo.

• $$\int xcos(x) dx$$. Solução.
• $$\int xsen(x) dx$$ Solução.
• $$\int x sec^{2}(x)dx$$. Solução.
• $$\int Ln(x) dx$$. Solução
• $$\int x^{3}e^{x^{2}}dx$$. Solução.
• $$\int x^{5}e^{x^{2}}dx$$. Solução.
• $$\int x Ln(x) dx$$. Solução.
• $$\int x [Ln(x)]^{2}dx$$. Solução.

O post Exercícios de Integral por Partes apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Se tomarmos $$u=x$$ e $$dv = sec^{2}(x) dx$$, a função $$v(x)$$ é claramente igual à tangente de x, pois $$tg(x)’ = sec^{2}(x)$$. Então a integração por partes fornece

\[\int x sec^{2}(x)dx= xtg(x)-\int (x)’tg(x)dx = \]

\[xtg(x)-\int tg(x)dx.\]

Observe que a última integral tem resultado igual a $$Ln(cos(x)) + K$$. Desse modo, teremos

\[\int x\cdot sec^{2}(x)dx = x\cdot tg(x) + Ln(cos(x)) + K.\]

O post Integral de x*sec²(x) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução
Para usarmos a integração por partes, façamos $$u=[Ln(x)]^{2}$$ e $$dv = x dx$$. Evidentemente, teremos, sem a constante de integração, $$v(x) = \frac{x^{2}}{2}$$.

Aplicando a integral por partes, obtemos

\[\int x[Ln(x)]^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}[Ln(x)]^{2}-\int \frac{x^{2}}{2} [[Ln(x)]^{2}]’dx (*). \]

Nota-se que $$[[Ln(x)]^{2}]’= 2\frac{Ln(x)}{x}$$, então

\[\int \frac{x^{2}}{2} [[Ln(x)]^{2}]’dx = \int x Ln(x)dx.\]

Esta última integral também é calculada por partes e resulta em $$\frac{x^{2}Ln(x)}{2} – \frac{x^{2}}{4} + K $$.

Finalmente, a expressão $$(*)$$ torna-se igual a

\[\frac{x^{2}}{2}[Ln(x)]^{2}-\frac{x^{2}Ln(x)}{2} + \frac{x^{2}}{4} + K’. \]

O post Integral de x[Ln(x)]² apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Escrevemos $$u=ln(x)$$ e $$dv = x dx$$. Note que obtemos a função $$v(x)$$ por integração do polinômio e ignoramos a constante, donde temos que $$v(x) = \frac{x^{2}}{2}$$. Agora, aplicamos a regra da integral por partes e obtermos

\[\int x Ln(x) dx = \frac{x^{2}Ln(x)}{2}-\int \frac{x^{2}}{2}\cdot (Ln(x))’=\]

\[\frac{x^{2}Ln(x)}{2}-\int \frac{x^{2}}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\]

\[\frac{x^{2}Ln(x)}{2}- \frac{x^{2}}{4} + K.\]

O post Integral de x*Ln(x) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Para usar a técnica da Integral por Partes, vamos escrever a nossa integral como $$\int x^{2}\cdot (xe^{x^{2}})dx$$, e poremos $$u=x^{2}$$ e $$dv=xe^{x^{2}}dx$$.

Observe que a função $$v(x)$$ é obtida da integração de $$xe^{x^{2}}$$, que resulta em $$(1/2)e^{x^{2}}$$, ignorando a constante de integração neste momento. Assim, escrevemos

\[\int x^{2}(xe^{x^{2}})dx= \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{2}}-\int 2x\cdot\frac{1}{2}e^{x^{2}}dx.\]

Para calcularmos a última integral, aplicamos novamente a técnica da substituição e obtemos

\[\int x^{2}(xe^{x^{2}})dx= \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{2}}-\frac{1}{2}e^{x^{2}}+ K.\]

O post Integral de x³e^x² apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Para calcular $$\int xcos(x) dx$$, definimos $$u=x$$ e $$dv = sen(x) dx$$. Vamos achar a primitiva da função $$v(x)$$, ignorando a constante de integração. Sabemos que $$(cos(x))’ = -sen(x)$$, então escrevemos $$v(x)=-cos(x)$$.

Além disso, vemos que $$du = dx$$.

Usando a técnica da integração por partes, temos

\[\int xsen(x)dx = x\cdot v(x) – \int v(x) du =\]

\[-xcos(x) – \int -cos(x)dx = -xcos(x)+sen(x) + k.\]

Note que, derivando $$(-xcos(x)+sen(x) + k)$$, obtemos $$xsen(x) -cos(x) + cos(x) = xsen(x)$$.

O post Integral de x*sen(x) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Para calcular $$\int xcos(x) dx$$, definimos $$u=x$$ e $$dv = cos(x) dx$$. Vamos achar a primitiva da função $$v(x)$$, ignorando a constante de integração. Sabemos que $$(sen(x))’ = cos(x)$$, então escrevemos $$v(x)=sen(x)$$.

Além disso, vemos que $$du = dx$$.

Usando a técnica da integração por partes, temos

\[\int xcos(x)dx = x\cdot v(x) – \int v(x) du =\]

\[xsen(x) – \int sen(x) dx = xsen(x)+cos(x) + k.\]

Note que, derivando $$(xsen(x) + cos(x) + k)$$< obtemos $$xcos(x) +sen(x) – sen(x) = xcos(x)$$.

O post Integral de x*cos(x) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Vamos calcular $$\int ln(x)dx$$ com o teorema da integral por partes. Definimos as funções $$du(x) = 1 dx$$ e $$v(x)=ln(x)$$. Observe que, ignorando a constante de integração, teremos $$u(x) = x$$. Além disso, sabemos que $$(ln(x))’=1/x$$. Escrevemos, então, que

\[\int ln(x)\cdot 1 dx = xln(x)-\int \cdot\frac{1}{x}dx=\]

\[xln(x) – \int dx = xln(x)-x+k. \]

O post Integral de ln(x) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[mx” (t)=f(x(t))\]

Demonstre que existe uma constante E ∈ R tal que, para todo t ∈ I

\[\frac{1}{2}m(x’)^{2}+V(x(t))=E\]

Exercício retirado neste link.

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