Vamos resolver, usando a Integração por Partes, a expressão $$\int x^{3}e^{x^{2}}$$.
Solução:
Para usar a técnica da Integral por Partes, vamos escrever a nossa integral como $$\int x^{2}\cdot (xe^{x^{2}})dx$$, e poremos $$u=x^{2}$$ e $$dv=xe^{x^{2}}dx$$.
Observe que a função $$v(x)$$ é obtida da integração de $$xe^{x^{2}}$$, que resulta em $$(1/2)e^{x^{2}}$$, ignorando a constante de integração neste momento. Assim, escrevemos
\[\int x^{2}(xe^{x^{2}})dx= \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{2}}-\int 2x\cdot\frac{1}{2}e^{x^{2}}dx.\]
Para calcularmos a última integral, aplicamos novamente a técnica da substituição e obtemos
\[\int x^{2}(xe^{x^{2}})dx= \frac{1}{2}x^{2}e^{x^{2}}-\frac{1}{2}e^{x^{2}}+ K.\]
