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A primeira coisa é recordar-se da fórmula da derivada do produto de funções deriváveis. Sejam $$f,g$$ funções reais deriváveis (diferenciáveis), definidas em um subconjunto dos números reais. A regra do produto garante a igualdade a seguir e deixemo-las escritas com a notação $$dx$$ de Leibniz.
\[(f\cdot g)’=f’g+fg’=g\cdot f’ dx+f\cdot g’ dx\].
Então é fácil definir a integral da função produto, a qual é uma função integrável.
\[f(x)\cdot g(x)=\int (f\cdot g)’dx= \int gf’ dx + \int fg’dx\Longrightarrow \int g(x)\cdot f'(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)g'(x)dx \].
Uma notação usual para esta fórmula é tal que se adote $$f'(x)dx = du$$ e $$g'(x)dx = dv$$, com $$f=u$$ e $$g=v$$. Reescrevemos a fórmula neste pradrão.
\[uv =\int u dv + \int v du \Longrightarrow \int u dv = uv – \int v du\].
Para trabalhar de modo prático com esta regra, é preciso escolher bem as funções $$u$$ e $$v$$. Vejamos.
Exemplo 1: $$\int x\cdot e^{x}dx$$.
Escolhamos $$u=x\Longrightarrow du = dx$$ e $$dv = e^{x}dx\Longrightarrow v(x)=\int e^{x}dx=e^{x}+K$$.
\[\int x\cdot e^{x}dx=uv-\int v du = x\cdot e^{x}-\int e^{x}\cdot 1 dx =e^{x}(x-1)+K \].
Exemplo 2: $$\int x\cdot cos(x) dx$$.
Escolhamos $$u=x\longrightarrow du=dx$$ e $$dv = cos(x)dx\longrightarrow v=sen(x)$$.
\[\int x\cdot cos(x)dx=uv-\int vdu=x\cdot sen(x)-\int sen(x)dx=x\cdot sen(x)+cos(x)+K\]
Exemplo 3: $$\int ln(x)dx$$.
Escolhamos $$u=ln(x)\longrightarrow du=(1/x) dx$$, e $$dv = 1 dx\longrightarrow v=x$$.
\[\int ln(x)dx=uv-\int vdu= x\cdot ln(x)-\int dx=x(ln(x)-1) +K\]
Referências:
[1] – Guidorizzi, H.L – Um Curso de Cálculo – Volume 1 [2] Leitholdi, L – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1 [2] Stweart, J – Cálculo – Volume 1
