Integral de x*sen(x)

Aplicando a integração por partes, resolvemos o valor da integral de x vezes o seno de x. Veja a solução abaixo.

Solução:

Para calcular $$\int xcos(x) dx$$, definimos $$u=x$$ e $$dv = sen(x) dx$$. Vamos achar a primitiva da função $$v(x)$$, ignorando a constante de integração. Sabemos que $$(cos(x))’ = -sen(x)$$, então escrevemos $$v(x)=-cos(x)$$.

Além disso, vemos que $$du = dx$$.

Usando a técnica da integração por partes, temos

\[\int xsen(x)dx = x\cdot v(x) – \int v(x) du =\]

\[-xcos(x) – \int -cos(x)dx = -xcos(x)+sen(x) + k.\]

Note que, derivando $$(-xcos(x)+sen(x) + k)$$, obtemos $$xsen(x) -cos(x) + cos(x) = xsen(x)$$.