Integral de x*Ln(x)

Vamos calcular $$\int xLn(x) dx$$.

Solução:

Escrevemos $$u=ln(x)$$ e $$dv = x dx$$. Note que obtemos a função $$v(x)$$ por integração do polinômio e ignoramos a constante, donde temos que $$v(x) = \frac{x^{2}}{2}$$. Agora, aplicamos a regra da integral por partes e obtermos

\[\int x Ln(x) dx = \frac{x^{2}Ln(x)}{2}-\int \frac{x^{2}}{2}\cdot (Ln(x))’=\]

\[\frac{x^{2}Ln(x)}{2}-\int \frac{x^{2}}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\]

\[\frac{x^{2}Ln(x)}{2}- \frac{x^{2}}{4} + K.\]