Integral de x[Ln(x)]²

Vamos calcular $$\int x[Ln(x)]^{2}dx$$.

Solução
Para usarmos a integração por partes, façamos $$u=[Ln(x)]^{2}$$ e $$dv = x dx$$. Evidentemente, teremos, sem a constante de integração, $$v(x) = \frac{x^{2}}{2}$$.

Aplicando a integral por partes, obtemos

\[\int x[Ln(x)]^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}[Ln(x)]^{2}-\int \frac{x^{2}}{2} [[Ln(x)]^{2}]’dx (*). \]

Nota-se que $$[[Ln(x)]^{2}]’= 2\frac{Ln(x)}{x}$$, então

\[\int \frac{x^{2}}{2} [[Ln(x)]^{2}]’dx = \int x Ln(x)dx.\]

Esta última integral também é calculada por partes e resulta em $$\frac{x^{2}Ln(x)}{2} – \frac{x^{2}}{4} + K $$.

Finalmente, a expressão $$(*)$$ torna-se igual a

\[\frac{x^{2}}{2}[Ln(x)]^{2}-\frac{x^{2}Ln(x)}{2} + \frac{x^{2}}{4} + K’. \]