a) 8/27
b) 20/27
c) 26/27
d) 30/27
e) 38/27

Solução:

Igualamos o 3a₁ à soma infinita dessa progressão geométrica e obtemos

\[3a_{1}=S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-a_{1}}\Longrightarrow\]

\[3(1-a_{1})=1\Longrightarrow a_{1}=(2/3).\]

Observe que excluímos a possibilidade de $$a_{1}=q=0$$.

A sequência é (2/3 ;  4/9 ; 8/27,…), e a soma dos três primeiros termos é 38/27.

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(ESPM) Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, …), sendo a_n o n-ésimo termo e S_n a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que
A) S_n = 2.a_n
B) S_n = a_n + 1
C) S_n = a_n+1  + 1
D) S_n = a_n+1  – 1
E) S_n = 2.a_n + 1
Solução

(UEL) Os divisores positivos do número 3¹⁰ são 3⁰, 3¹,3², etc. A soma de todos esses divisores é
a) (3¹¹-1)/2
b) (3¹⁰-1)/2
c) (3⁹-1)/2
d) 3¹⁰
e) 3¹⁰-1
Solução

(Mackenzie) Sejam l₁, l₂, …, l₁₀₀ os lados dos quadrados Q₁, Q₂, …, Q₁₀₀, respectivamente.
Se l₁ = 1 e l_k = 2l_k-1 , para k = 2, 3, …, 100, a soma das áreas desses quadrados é igual a…Solução.

Sabendo-se que o limite da soma $$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+…$$ é 100, determine o valor de x. Solução.

(UERJ) Considere a seguinte equação:

\[x(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+…)=18, \text{para } x\in\mathbb{R}.\]

Sabendo que o primeiro membro dessa equação é a soma dos termos de uma progressão geométrica
infinita, o valor de x é igual a: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12
Solução.

(ITA) Seja (a₁, a₂, a₃;…) uma progressão geométrica (PG). infinita de razão a₁, com 0< a₁<1 , e soma igual a 3a₁. A soma dos 3 primeiros termos dessa progressão geométrica é:

a) 8/27
b) 20/27
c) 26/27
d) 30/27
e) 38/27
Solução

(UFRGS-RS–2016) Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros a seguir.

O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da
altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente. Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é

A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.
Solução

(EsPCex) Considere i a unidade imaginária. A soma infinita $$ 5i -\frac{5}{2} -\frac{5i}{4}+\frac{5}{8}-…$$, onde o n-ésimo termo é dado por $$5i^{n}/2^{n−1}$$ (n=1,2,3…) , resulta no número complexo cujas partes real e imaginária são, respectivamente, iguais a… Solução.

O post Exercícios sobre soma de uma PG apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) $$(3/4)4^{99}$$
b) $$(1/4) 4^{99}$$.
c) $$(1/3) (4^{100}-1)$$.
d) $$(1/3) (4^{100})$$.
e) $$(1/3)4^{100} – 1$$.

• Confira mais exercícios sobre Progressão Geométrica

Solução:

Observamos que as medidas dos lados dos quadrados formam uma progressão geométrica de razão (q=2), pois $$l_{1}=1, l_{2}=2, l_{3}=4,…$$

Além disso, sabemos que a área de um quadrado é o quadrado de seu lado, ou seja,$$A_{k}=l^{2}_{k}$$. Isso mostra que as áreas formam um progressão geométrica, (1,4,16,…), de razão q=4 e primeiro termo $$a_{1}=1$$.

Utilizando a fórmula da soma de uma progressão geométrica, temos

\[S_{100}=1\cdot\frac{4^{100}-1}{4-1}=\frac{1}{3}(4^{100}-1).\]

O post Progressão Geométrica – Exercício 14 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) S_n = 2.a_n
B) S_n = a_n + 1
C) S_n = a_n+1  + 1
D) S_n = a_n+1  – 1
E) S_n = 2.a_n + 1

Solução:

Em primeiro lugar, podemos calcular a razão da progressão ao fazermos $$a_{2}/a_{1}=2/1=2$$. De posse do primeiro termo (a_n=1) e da razão (q=2), escrevemos o termo geral da progressão geométrica:

\[a_{n}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}.\]

Com a fórmula da soma da PG, temos

\[S_{n}=1\cdot \frac{2^{n}-1}{2-1}=2\cdot 2^{n-1}-1=2\cdot a_{n}-1.\]

Observamos ainda que $$a_{n+1}=2a_{n}$$, então, substituindo na equação anterior,

\[S_{n}=2^{2}a_{n}-1 = a_{n+1}-1.\]

O post Progressão Geométrica – Exercício 13 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Os termos dessa série formam uma progressão geométrica de termo inicial $$a_{1}=x$$ e razão $$q=1/2$$. Usando a fórmula da PG infinita, temos

\[100=S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{x}{1-\frac{1}{2}}\Longrightarrow\]

\[x = (1/2)\cdot 100 = 50.\]

O post Progressão Geométrica – Exercício 8 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

[A] 2 e 4.
[B] 2 e – 4.
[C] – 4 e 2.
[D] 4 e – 2.
[E] – 2 e 4.

Solução:

O post EsPCEx 2021 – Q.5 – Matemática apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}.\]

Demonstração:

Observamos que

\[S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} =\]

\[a_{1}+a_{1}q+…+a_{1}^{n-1}=a_{1}[1+q+…+q^{n-1}].\]

Multiplicando toda a expressão $$S_{n}=a_{1}[1+…+q^{n-1}]$$ por $$q$$, obtemos

\[qS_{n}=a_{1}[q+q^{2}+…+q^{n-1}+q^{n}].\]

Agora, observamos que $$(q-1)S_{n}=qS_{n}-S_{n}=$$

\[a_{1}[q+…+q^{n}]-a_{1}[1+…+q^{n-1}]= a_{1}[-1 + q^{n}].\]

Daqui, temos

\[(q-1)S_{n}=a_{1}[q^{n}-1]\Longrightarrow\]

\[S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}.\]

O caso da Soma Infinita.

Se $$0<q<1$$, existe $$lim_{n\to\infty}S_{n}$$. Com efeito,

\[lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1} = \frac{a_{1}}{1-q}=S_{\infty}.\]

O post Demonstração da Soma de uma PG apareceu primeiro em Educacional Plenus.