Exercícios de Progressão Geométrica

Lista de exercícios resolvidos de Progressão Geométrica, com comentários e dicas sobre as soluções!

Termo Geral e Definição da PG

1) A sequência (4x, 2x + 1, x – 1) é uma PG. Então, o valor de x é… Solução

2) O número de termos da PG (1/9 ; 1/3; 1; … ;729) é… Solução

3) Os lados de um quadrilátero formam uma PG de razão 2. Sabendo que a diferença entre o maior e o menor lado é 84, o perímetro desse quadrilátero é… Solução

4) Dada a sequência: 2, 5 e 32, o número positivo que se deve somar a 5 para que tenhamos uma PG é… Solução

(ESPM) Para que a sequência (–9, –5, 3) se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é… Solução

5) (UECE) Seja (b₁,b₂,b₃,b₄) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b₁+b₂+b₃+b₄=20, então b₄ é igual a… Solução.

6) Em uma PG a₁= 1/4; e a₇ = 16. Sendo a PG crescente, podemos afirmar que:

a) a₁₀ = 1024.
b) a₂ = 2.
c) a₃ = 4.
d) a₁₀ = 128.
e) a₃ = 3/4.
Solução

(UECE) Se os dois primeiros termos de uma progressão geométrica são dados por x₁ = p² – q² e x₂ = (p – q)² , com p > q > 0, então a expressão do décimo primeiro termo desta progressão será…Solução.

7) (Mackenzie) Se o décimo e o décimo quinto termos de uma progressão geométrica são, respectivamente, 3/512 e 3/16384, então o vigésimo quinto termo dessa progressão é… Solução.

8) (UEL) A sequência (2x + 5, x+1, x/2,…), com x ∈ |R, é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é… Solução

(Mackenzie) Numa progressão geométrica de termos positivos, cada termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Então a razão da PG vale…Solução.

(UFPE) A cada mês que passa, o preço de uma cesta básica de alimentos diminui 3% em relação ao seu preço do mês anterior. Admitindo que o preço da cesta básica no primeiro mês é R$ 97,00, o seu preço no 12° mês será, em reais… Solução.

9) (ENEM – 2018) Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente.

O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera. O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a… Solução

(IME-2022) Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada operação de corte, obtém-se a Figura B e repetindo a operação, em cada quadrado remanescente, obtém-se a Figura C. Qual será a área remanescente, a partir do quadrado da Figura A, ao final de 10 operações?
Solução.

(UNICAMP) Considere uma progressão geométrica de termos não nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.

a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro termo seja (1 – √5)/ 2 e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão.
Solução

(UFRJ) Uma progressão geométrica de oito termos tem o primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da progressão. Solução.

Soma de uma Progressão Geométrica

10) (Mackenzie) Sejam l₁, l₂, …, l₁₀₀ os lados dos quadrados Q₁, Q₂, …, Q₁₀₀, respectivamente.
Se l₁ = 1 e l_k = 2l_k-1 , para k = 2, 3, …, 100, a soma das áreas desses quadrados é igual a…Solução.

11) (UNICAMP – 2021) Seja 𝑥 um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2𝑥, -3𝑥+ 1, nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a… Solução.

12) (ESPM) Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, …), sendo a_n o n-ésimo termo e S_n a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que
A) S_n = 2.a_n
B) S_n = a_n + 1
C) S_n = a_n+1  + 1
D) S_n = a_n+1  – 1
E) S_n = 2.a_n + 1
Solução

13) (UEL) Os divisores positivos do número 3¹⁰ são 3⁰, 3¹,3², etc. A soma de todos esses divisores é

a) (3¹¹-1)/2
b) (3¹⁰-1)/2
c) (3⁹-1)/2
d) 3¹⁰
e) 3¹⁰-1
Solução

14) Sabendo-se que o limite da soma $$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+…$$ é 100, determine o valor de x. Solução.

15) (ITA) Seja (a₁, a₂, a₃;…) uma progressão geométrica (PG). infinita de razão a₁, com 0< a₁<1 , e soma igual a 3a₁. A soma dos 3 primeiros termos dessa progressão geométrica é…Solução

16) (UFRGS-RS–2016) Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros a seguir.

O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da
altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente. Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é

A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.
Solução

17) (EXPECEX – 2022) Considere i a unidade imaginária. A soma infinita $$ 5i -\frac{5}{2} -\frac{5i}{4}+\frac{5}{8}-…$$, onde o n-ésimo termo é dado por $$5i^{n}/2^{n−1}$$ (n=1,2,3…) , resulta no número complexo cujas partes real e imaginária são, respectivamente, iguais a… Solução

Progressão Geométrica e Progressão Aritmética

18) (UNICAMP – 2022) Dados os números reais positivos $$𝑎_{1}, 𝑎_{2}, … , 𝑎_{𝑛}$$, a média geométrica 𝑀 destes termos é calculada por: \[𝑀 = \sqrt[n]{(𝑎_{1}\cdot …\cdot a_{n}} .\] A média geométrica de 1, 10, 100, … , $$10^{22}$$ é… Solução.

19) (PUCCAMP – 2022) Sabendo-se que x, y, 14 e x, y, 32 são termos consecutivos de uma P.A. crescente e de uma P.G., respectivamente, o valor de x + y é… Solução