É possível, no entanto, calcular, em outros arcos, os valores destas funções, utilizando algumas identidades trigonométricas. Considerando a relação cos(x/2) = $$\sqrt{(1+cos(x))/2}$$ e a identidade fundamental da trigonometria, é possível afirmar que o valor de sen(π/12) é

Gabarito: a)
Solução (no vídeo abaixo):

O post As funções trigonométricas cos(x) e sen(x) são muito estudadas apareceu primeiro em Educacional Plenus.

$$cos(75º) = cos(45º + 30º) = cos(45º)cos(30º)-sen(45º)sen(30º) =$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})=$$

$$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4} = 0,258819$$.

O post Quanto vale cos(75º) ? apareceu primeiro em Educacional Plenus.

$$sen(15º) = sen(45º – 30º) = sen(45º)cos(30º) – sen(30º)cos(45º) =$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})=$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2}=$$

$$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}\cong 0,258819$$.

O post Quanto vale sen(15º) ? apareceu primeiro em Educacional Plenus.

$$\left\{\begin{array}{l}
x\cdot cos(\theta)+y\cdot sen(\theta) = cos(\theta) \\
-x\cdot sen(\theta)+y\cdot cos(\theta) =sen(\theta) \\
\end{array}\right. $$

Solução:

i) Calculamos o determinante da matriz do sistema:

$$m = det\left[\begin{array}{cc}
cos(\theta) &sen(\theta)\\
-sen(\theta)&cos(\theta)
\end{array}\right] = cos^{2}(\theta)+sen^{2}(\theta)$$

Como cos²(θ) + sen²(θ)=1, temos $$m=1$$.

ii) O determinante da matriz que fornece o valor de $$x$$:

$$a = det\left[\begin{array}{cc}
cos(\theta) &sen(\theta)\\
sen(\theta)&cos(\theta)
\end{array}\right] = cos^{2}(\theta)-sen^{2}(\theta)$$

Da soma de arcos, na trigonometria, temos cos(2θ)=cos²(θ) – sen²(θ).
Obtemos, então, $$a=cos(2\theta)$$.

Pela Regra de Cramer, $$x= \frac{a}{m} = \frac{cos(2\theta)}{1}=cos(2\theta)$$.

iii) Calculamos o determinante da matriz do sistema:

$$b = det\left[\begin{array}{cc}
cos(\theta) &cos(\theta)\\
-sen(\theta)&sen(\theta)
\end{array}\right] = cos(\theta)sen(\theta) – (-sen(\theta))cos(\theta) = 2\cdot sen(\theta)cos(\theta)$$

Lembre-se de que, na trigonometria, $$sen(2\theta) = 2\cdot sen(\theta)cos(\theta)$$.

Pela Regra de Cramer, $$y= \frac{b}{m} = \frac{sen(2\theta)}{1}=sen(2\theta)$$.

$$(x,y)\in\{(cos(2\theta) , sen(2\theta))\}$$.

O post Sistemas Lineares – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A largura do canal, medida em metros e indicada por 𝐿 na figura anterior, é:

Dados:

• cos(2𝜃) = 2 cos²(𝜃) − 1
• sen(2𝜃) = 2sen(𝜃) cos(𝜃).

Veja todas as resoluções de Matemática desta prova! 

a) 400√(2−√2) − 60√(2+√2)≈ 195,3
b) 200 √(2−√2) − 15 √(2+√2) ≈ 125,4
c) 200 √(2−√2) + 15 √(2+√2) ≈ 180,8
d) 200 √(3−√3) − 15 √(3+√3) ≈ 192,6

Solução:

O post UNICAMP 2022: 1ª Fase – Q.24 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Expandindo, temos as seguintes expressões:

• $$(sen(x)+sen(y))^{2}=sen^{2}(x)+sen^{2}(y) + 2sen(x)sen(y)$$; e 
• $$(cos(x)+cos(y))^{2}=cos^{2}(x)+cos^{2}(y)+2cos(x)cos(y)$$.

Daqui,

\[(sen (x) + sen (y))^{2} + (cos (x) + cos (y))^{2}=\]

\[cos^{2}(x)+sen^{2}(x)+cos^{2}(y)+sen^{2}(y)+\]

\[2cos(x)cos(y)+2sen(x)sen(y)=\]

\[\textbf{(A)}:\;\;2\cdot (1+cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y)).\]

Sabemos que 

\[cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y),\]

então a expressão (A) equivale a 

\[2+2cos(x-y) = 2 + 2cos(60) = 2+2\cdot (1/2) = 3.\]

Resposta: d)

O post Soma de Arcos – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Sabendo que sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a, o valor de sen x é:

a) √2/2
b) 7/√50
c) 3/5
d) 4/5
e) 1/√50

Solução:

Com o teorema de Pitágoras, conseguimos calcular a hipotenusa do triângulo ABC. De fato,

\[\overline{AB}^{2}=\overline{AC}^{2}+\overline{BC}^{2}=\]

\[1^{2}+7^{2}=50.\]

Daqui, $$\overline{AB}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$.

Conseguimos, portanto, calcular o seno e o cosseno do ângulo $$\alpha = \overset{\LARGE\frown}{BAC}$$, no triângulo ABC:

• $$sen(\alpha)=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{7}{5\sqrt{2}}$$, e
• $$sen(\alpha)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}$$.

Observamos que o triângulo ABD é isósceles e retângulo, uma vez que $$\overline{AD}=\overline{BD}$$, então os ângulos de ABD são de 45º e 90º. Na figura a seguir, observamos que $$\alpha = x + 45º$$, ou, escrito de outro modo, $$x = \alpha – 45º$$.

Aplicando o seno da diferença e sabendo que $$cos(45º)=sen(45º)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, temos

\[sen(x)=sen(\alpha-45º)=\]

\[sen(x)\frac{\sqrt{2}}{2}-cos(x)\frac{\sqrt{2}}{2}=\]

\[\frac{\sqrt{2}}{2} [\frac{7}{5\sqrt{2}}-\frac{1}{5\sqrt{2}}]=\]

\[\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{6}{5\sqrt{2}}=3/5.\]

Resposta: c)

O post Soma de Arcos – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) sen (2x + y)
b) cos (2x)
c) sen x
d) sen (2x)
e) cos (2x + 2y)

Solução:

Usando as fórmulas do seno e do cosseno da diferença, temos:

• (A): $$sen(x-y) = sen(x)cos(y)-sen(y)cos(x)$$, e
• (B): $$cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)$$.

Multiplicando a expressão (A) por cos(y), temos:

\[sen(x)cos^{2}(y)-sen(y)cos(y)cos(x).\]

Multiplicando a expressão (B) por sen(y), temos:

\[cos(x)sen(y)cos(y)+sen(x)sen^{2}(y).\]

Daqui,

\[sen(x)cos^{2}(y)-sen(y)cos(y)cos(x)+\]

\[cos(x)sen(y)cos(y)+sen(x)sen^{2}(y)=\]

\[sen(x)[cos^{2}(y)+sen^{2}(y)]+\]

\[-sen(y)cos(y)cos(x)+sen(y)cos(x)cos(y)=\]

\[sen(x)\cdot 1 = sen(x).\]

Resposta: c)

O post Soma de Arcos – Exercício 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

A equação do segundo grau tem os seguintes parâmetros: $$a=1$$, $$b=-3$$ e $$c=2$$. Pelas relações de Girard, sabemos que a soma das raízes é -b/a e que o produto é c/a, assim

• $$tg(\alpha)+tg(\beta) = -b/a = -(-3)/1 = 3$$; e
• $$tg(\alpha)\cdot tg(\beta) = c\a = 2$$.

Utilizando a fórmula da Soma de Arcos para Tangentes, temos

\[tg(\alpha+\beta)=\]

\[\frac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{1-tg(\alpha)\cdot tg(\beta)}=\]

\[\frac{3}{1-2}=-3\]

Resposta: d)

O post Soma de Arcos – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[y=\frac{sen(180º-x)+cos(180º+x}{cos(360º-x)-cos(270º+x)}\]

é

a) 1
b) –1
c) 0
d) tg x
e) cotg x

Solução:

Aplicaremos a soma de arcos em cada um dos fatores do numerador e do denominador.

i) $$sen(180º-x) = sen(180)cos(x)-sen(x)cos(180)=$$
$$- sen(x)\cdot (-1) = sen(x)$$.

ii) $$cos(180º + x) = cos(180º)cos(x) – sen(180º)sen(x) = $$
$$cos(180)cos(x) = -cos(x)$$.

iii) $$cos(360º – x) = cos(360º)cos(x) + sen(360º)sen(x) = $$
$$cos(360)cos(x) = cos(x)$$.

iv) $$cos(270º + x) = cos(270º)cos(x) – sen(270º)sen(x) = $$
$$-sen(270)sen(x) = sen(x)$$.

Daqui, nosso numerador é $$sen(x)-cos(x)$$, e nosso denominador é $$cos(x)-sen(x)$$, donde se tem que 

\[y=\frac{sen(x)-cos(x)}{(-1)(sen(x)-cos(x))}=-1.\]

Resposta: b) 

O post Soma de Arcos – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.