Sejam u e v ∈ $$V=\mathbb{R}^{2}$$ tais que β = { u, v } é uma base para $$\mathbb{R}^{2}$$.
Considere uma transformação linear $$T : \mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}^{n}$$, para n ≥ 2.
Mostre que somente uma das seguintes alternativas se verifica:
(a) { T(u), T(v) } é linearmente independente.
(b) dim(Im(T)) = 1 .
(c) Im(T) = { 0V }
Solução:
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, sabemos que $$2 =dim(V)=dim(N(T))+dim(Im(T))$$. Só há três soluções possíveis em números inteiros positivos para essa equação:
- i) $$dim(N(T)) = 0$$ e $$dim(Im(T))=2$$; ou
- ii) $$dim (N(T))=1$$ e $$dim(Im(T))=1$$; ou
- iii) $$dim (N(T))=2$$ e $$dim(Im(T))=0$$.
E cada situação é mutuamente excludente, isto é: se ocorrer uma delas, as outras duas são automaticamente excluídas.
O caso (i) corresponde a dizer que $$\{T(u),T(v)\}$$ é um conjunto linearmente independente. O caso (iii) corresponde a dizer que $$Im(T) = \{0_{\mathbb{R}^{n}}\}$$.
Referência:
Álgebra Linear e suas Aplicações – Petronio Pulino
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