Sejam $$V$$ e $$W$$ espaços vetoriais sobre o corpo $$F$$, e seja $$U$$ um isomorfismo de $$V$$ em $$W$$. Demonstrar que $$\phi: T\mapsto UTU^{-1}$$ é um isomorfismo de $$\mathcal{L}(V)$$ em $$\mathcal{L}(W)$$.
Solução:
Observe que Φ está bem-definida, pois $$\phi(T) = U\circ T\circ U^{-1}$$ é uma transformação em $$\mathcal{W}$$. Além disso, se $$T=R, UTU^{-1}=URU^{-1}$$.
Também é fato que a aplicação é linear. Com efeito,
\[\phi(T+\alpha\cdot R) = U(T+\alpha\cdot R)U^{-1}= UTU^{-1} + \alpha\cdot URU^{-1} = \phi(T) + \alpha\phi(R). \]
Por fim, devemos demonstrar a existência de $$\phi^{-1}$$.
i) Observamos que, se $$UTU^{-1}=\phi(T)=0$$, então $$T = U^{-1}0U = 0$$. Isso implica que $$ker(\phi)=\{0_{\mathcal{L}(V)}\}$$, isto é: a aplicação é injetora.
ii) Qualquer transformação linear $$R\in\mathcal{L}(W)$$ pode ser composta com $$U$$ de modo que $$U^{-1}RU\in\mathcal{L}(V)$$. Aplicando em Φ, temos
\[\phi(U^{-1}RU)=UU^{-1}RUU^{-1}=Id_{\mathcal{L}(W)}RId_{\mathcal{L}(W)}=R.\]
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