Lótus é uma planta conhecida por uma característica muito interessante: apesar de crescer em regiões de lodo, suas folhas estão sempre secas e limpas. Isto decorre de sua propriedade hidrofóbica. Gotas de água na folha de lótus tomam forma aproximadamente esférica e se deslocam quase sem atrito até caírem da folha. Ao se moverem pela folha, as gotas de água capturam e carregam consigo a sujeira para fora da folha.
a) Quando uma gota de água cai sobre uma folha de lótus, ela quica como se fosse uma bola de borracha batendo no chão. Considere uma gota, inicialmente em repouso, caindo sobre uma folha de lótus plana e na horizontal, a partir de uma altura $$h_{i}=50\, cm$$ acima da folha. Qual é o coeficiente de restituição da colisão se a gota sobe até uma altura de $$h_{f}=2\, cm$$ após quicar a primeira vez na folha?
b) Considere uma gota de água com velocidade inicial $$v_{i}= 3\, mm/s$$ deslocando-se e limpando a superfície de uma folha de lótus plana e na horizontal. Antes de cair da folha, essa gota captura o lodo de uma área de 2 cm². Suponha que a densidade superficial média de lodo na folha é de $$2,5\cdot 10^{-3}\, gramas/cm^{2}$$. Estime a massa da gota de água e calcule sua velocidade no instante em que ela deixa a folha.
Solução:
a) Aqui nós temos uma transformação de energia. Quando a gota está a 50 cm da folha, em repouso, esta possui apenas energia potencial, que se transforma em apenas energia cinética quando a gota atinge a folha. Na colisão, parte dessa energia é perdida e a gota sobe novamente, atingindo não mais o 50 cm, mas 2 cm acima da folha, novamente apenas com energia potencial.
Imediatamente antes da colisão temos a seguinte situação: \[\frac{mv_{a}^{2}}{2} = mgh_{a} \longrightarrow v_{a}^{2} = 2gh_{a}\] Em que $$v_{a}$$ é a velocidade imediatamente antes da colisão e $$h_{a}$$ é a altura em que a gota estava antes da colisão.
Imediatamente após a colisão, temos a seguinte situação: \[\frac{mv_{d}^{2}}{2} = mgh_{d} \longrightarrow v_{d}^{2} = 2gh_{d}\] Em que $$v_{d}$$ é a velocidade imediatamente depois da colisão e $$h_{d}$$ é a altura que a gota atingiu após a colisão.
O coeficiente de restituição pode ser calculado da seguinte forma: \[e = \frac{v_{d}}{v_{a}} = \frac{\sqrt{2gh_{d}}}{\sqrt{2gh_{a}}} \longrightarrow e = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}} \longrightarrow e = 0,2\]
b) Podemos calcular a massa de lodo capturada pela gota: \[m = 2,5\cdot 10^{-3}\cdot 2 \longrightarrow m = 5\cdot 10^{-3}\, g\]
Agora temos que estimar a massa de uma gota. Sabe-se que uma gota padrão tem o volume de 0,05 ml, portanto 0,05 g.
Agora podemos utilizar a conservação de momento para calcular a velocidade final da gota, considerando que a gota e o lodo sofrem uma colisão inelástica. \[m_{i}\cdot v_{i} = m_{f}\cdot v_{f} \longrightarrow 0,05\cdot 3 = (0,05 + 0,005)\cdot v_{f} \longrightarrow v_{f} = 2,73\, mm/s\] Observação: Nas respostas esperadas da Unicamp, a estimativa de massa para a gota foi 0,03 g, porém são aceitos valores próximos a esse.
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