Um instrumento importante no estudo de sistemas nanométricos é o microscópio eletrônico. Nos microscópios ópticos, a luz é usada para visualizar a amostra em estudo. Nos microscópios eletrônicos, um feixe de elétrons é usado para estudar a amostra.
a) A vantagem em se usar elétrons é que é possível acelerá-los até energias em que o seu comprimento de onda é menor que o da luz visível, permitindo uma melhor resolução. O comprimento de onda do elétron é dado por $$\lambda = h/(2m_{e}E_{c})^{1/2}$$, em que $$E_{c}$$ é a energia cinética do elétron, $$m_{e} \cong 9\cdot 10^{-31}\, kg$$ é a massa do elétron e $$h \cong 6,6\cdot 10^{-34}\, N\cdot m\cdot s$$ é a constante de Planck. Qual é o comprimento de onda do elétron em um microscópio eletrônico em que os elétrons são acelerados, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de $$U = 50\, kV$$? Caso necessário, use a carga do elétron $$e = 1,6\cdot 10^{-19}\, C$$.
b) Uma forma usada para gerar elétrons em um microscópio eletrônico é aquecer um filamento, processo denominado efeito termiônico. A densidade de corrente gerada é dada por $$J = AT^{2} e^{(-\Phi /(k_{B}T))}$$, em que A é a constante de Richardson, T é a temperatura em kelvin, $$k_{B} = 1,4\cdot 10^{-23}\, J/K$$ é a constante de Boltzmann e $$\Phi$$, denominado função trabalho, é a energia necessária para remover um elétron do filamento. A expressão para J pode ser reescrita como $$ln(J/T^{2}) = ln(A) – (\Phi/k_{B})(1/T)$$, que é uma equação de uma reta de $$ln(J/T^{2})$$ versus $$(1/T)$$, em que $$ln(A)$$ é o coeficiente linear e $$(\Phi/k_{B})$$ é o coeficiente angular da reta. O gráfico da figura abaixo apresenta dados obtidos do efeito termiônico em um filamento de tungstênio. Qual é a função trabalho do tungstênio medida neste experimento?
Solução:
a) toda a energia fornecida pela diferença de potencial é convertida em energia cinética, portanto \[E_{c} = e\cdot U \longrightarrow E_{c} = 1,6\cdot 10^{-19}\cdot 50\cdot 10^{3} \longrightarrow E_{c} = 8\cdot 10^{-15}\, J\] Agora basta substituir os valores na equação do enunciado. \[\lambda = \frac{h}{(2\cdot m_{e}\cdot E_{c})^{1/2}} \longrightarrow \lambda = \frac{6,6\cdot 10^{-34}}{(2\cdot 9\cdot 10^{-31}\cdot 8\cdot 10^{-15})^{1/2}} \longrightarrow \lambda = 5,5\cdot 10^{-12}\, m\]
b) O enunciado nos diz que o coeficiente angular da reta é $$\frac{\Phi}{k_{B}}$$. Então basta calcular o coeficiente angular (CA) da reta apresentada no gráfico e igualar a esse valor. O valor de $$k_{B}$$ é dado no enunciado. \[|CA| = |\frac{-40-(-30)}{1\cdot 10^{-3} -0,8\cdot 10^{-3}}| \longrightarrow |CA| = 50\cdot 10^{3}\, K\] \[\frac{\Phi}{1,4\cdot 10^{-23}} = 50\cdot 10^{3} \longrightarrow \Phi = -7\cdot 10^{-19}\, J\]
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