O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning System) cresceu bastante nos últimos tempos devido principalmente à existência do sensor GPS na maioria dos celulares disponíveis no mercado. Nesses celulares, o sinal de GPS tem sido usado para localização do aparelho em mapas, para obter sugestões de rotas e até em jogos. Considere que os satélites responsáveis por enviar o sinal GPS encontram-se a aproximadamente $$R_{GPS}=27.000\, km$$ do centro da Terra, seu período de rotação em torno do centro da Terra é $$T_{GPS}=12\, horas$$ e sua órbita é circular.
a) Qual é a velocidade escalar média de um satélite do sistema GPS?
b) Os satélites de GPS enviam continuamente as três coordenadas que determinam sua posição atual e o horário do envio da mensagem. Com as informações de 4 satélites, o receptor pode determinar a sua posição e o horário local. Para garantir a precisão dessas informações, efeitos relativísticos são considerados na determinação do horário enviado pelos satélites. Os relógios localizados nos satélites são afetados principalmente por efeitos da relatividade restrita, que atrasam os relógios, e da relatividade geral, que adiantam os relógios, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a distância do centro da Terra R e o período T da órbita em que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam, ou seja, quando a soma dos dois efeitos é zero?
Solução:
a) Aqui temos que utilizar a equação da velocidade média, sendo que $$\Delta S = 2\pi R$$ e $$\Delta t = T$$. \[v = \frac{\Delta S}{\Delta t} \longrightarrow v = \frac{2\pi\cdot 27000}{12} \longrightarrow v = 13500\, km/h\]
b) Observando o gráfico, podemos ver que na distância $$R = 9\cdot 10^{3}\, km$$ a curva da relatividade restrita indica uma correção de $$-2,5\cdot 10^{-10}\, s$$ e a curva da relatividade geral indica uma correção de $$2,5\cdot 10^{-10}\, s$$, valores que se cancelam. Portanto esse é o nosso raio. Para saber o período, podemos utilizar a terceira lei de Kepler \[\frac{R_{a}^{3}}{T_{a}^{2}} = \frac{R_{b}^{3}}{T_{b}^{2}} \longrightarrow \frac{27000^{3}}{12^{2}} = \frac{9000^{3}}{T_{b}^{2}} \longrightarrow T_{b} = 2,2\, h\]
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