Resolução – UNICAMP 2017 – 2ª Fase – Física

Questão 13

O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning System) cresceu bastante nos últimos tempos devido principalmente à existência do sensor GPS na maioria dos celulares disponíveis no mercado. Nesses celulares, o sinal de GPS tem sido usado para localização do aparelho em mapas, para obter sugestões de rotas e até em jogos. Considere que os satélites responsáveis por enviar o sinal GPS encontram-se a aproximadamente $$R_{GPS}=27.000\, km$$ do centro da Terra, seu período de rotação em torno do centro da Terra é $$T_{GPS}=12\, horas$$ e sua órbita é circular.
a) Qual é a velocidade escalar média de um satélite do sistema GPS?
b) Os satélites de GPS enviam continuamente as três coordenadas que determinam sua posição atual e o horário do envio da mensagem. Com as informações de 4 satélites, o receptor pode determinar a sua posição e o horário local. Para garantir a precisão dessas informações, efeitos relativísticos são considerados na determinação do horário enviado pelos satélites. Os relógios localizados nos satélites são afetados principalmente por efeitos da relatividade restrita, que atrasam os relógios, e da relatividade geral, que adiantam os relógios, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a distância do centro da Terra R e o período T da órbita em que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam, ou seja, quando a soma dos dois efeitos é zero?

Solução:

a) Aqui temos que utilizar a equação da velocidade média, sendo que $$\Delta S = 2\pi R$$ e $$\Delta t = T$$. \[v = \frac{\Delta S}{\Delta t} \longrightarrow v = \frac{2\pi\cdot 27000}{12} \longrightarrow v = 13500\, km/h\]

b) Observando o gráfico, podemos ver que na distância $$R = 9\cdot 10^{3}\, km$$ a curva da relatividade restrita indica uma correção de $$-2,5\cdot 10^{-10}\, s$$ e a curva da relatividade geral indica uma correção de $$2,5\cdot 10^{-10}\, s$$, valores que se cancelam. Portanto esse é o nosso raio. Para saber o período, podemos utilizar a terceira lei de Kepler \[\frac{R_{a}^{3}}{T_{a}^{2}} = \frac{R_{b}^{3}}{T_{b}^{2}} \longrightarrow \frac{27000^{3}}{12^{2}} = \frac{9000^{3}}{T_{b}^{2}} \longrightarrow T_{b} = 2,2\, h\]

Questão 14

Lótus é uma planta conhecida por uma característica muito interessante: apesar de crescer em regiões de lodo, suas folhas estão sempre secas e limpas. Isto decorre de sua propriedade hidrofóbica. Gotas de água na folha de lótus tomam forma aproximadamente esférica e se deslocam quase sem atrito até caírem  da folha. Ao se moverem pela folha, as gotas de água capturam e carregam consigo a sujeira para fora da folha.
a) Quando uma gota de água cai sobre uma folha de lótus, ela quica como se fosse uma bola de borracha batendo no chão. Considere uma gota, inicialmente em repouso, caindo sobre uma folha de lótus plana e na horizontal, a partir de uma altura $$h_{i}=50\, cm$$ acima da folha. Qual é o coeficiente de restituição da colisão se a gota sobe até uma altura de $$h_{f}=2\, cm$$ após quicar a primeira vez na folha?
b) Considere uma gota de água com velocidade inicial $$v_{i}= 3\, mm/s$$ deslocando-se e limpando a superfície de uma folha de lótus plana e na horizontal. Antes de cair da folha, essa gota captura o lodo de uma área de 2 cm². Suponha que a densidade superficial média de lodo na folha é de $$2,5\cdot 10^{-3}\, gramas/cm^{2}$$. Estime a massa da gota de água e calcule sua velocidade no instante em que ela deixa a folha.

Solução:

a) Aqui nós temos uma transformação de energia. Quando a gota está a 50 cm da folha, em repouso, esta possui apenas energia potencial, que se transforma em apenas energia cinética quando a gota atinge a folha. Na colisão, parte dessa energia é perdida e a gota sobe novamente, atingindo não mais o 50 cm, mas 2 cm acima da folha, novamente apenas com energia potencial.

Imediatamente antes da colisão temos a seguinte situação: \[\frac{mv_{a}^{2}}{2} = mgh_{a} \longrightarrow v_{a}^{2} = 2gh_{a}\] Em que $$v_{a}$$ é a velocidade imediatamente antes da colisão e $$h_{a}$$ é a altura em que a gota estava antes da colisão.

Imediatamente após a colisão, temos a seguinte situação: \[\frac{mv_{d}^{2}}{2} = mgh_{d} \longrightarrow v_{d}^{2} = 2gh_{d}\] Em que $$v_{d}$$ é a velocidade imediatamente depois da colisão e $$h_{d}$$ é a altura que a gota atingiu após a colisão.

O coeficiente de restituição pode ser calculado da seguinte forma: \[e = \frac{v_{d}}{v_{a}} = \frac{\sqrt{2gh_{d}}}{\sqrt{2gh_{a}}} \longrightarrow e = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}} \longrightarrow e = 0,2\]

b) Podemos calcular a massa de lodo capturada pela gota: \[m = 2,5\cdot 10^{-3}\cdot 2 \longrightarrow m = 5\cdot 10^{-3}\, g\]

Agora temos que estimar a massa de uma gota. Sabe-se que uma gota padrão tem o volume de 0,05 ml, portanto 0,05 g.

Agora podemos utilizar a conservação de momento para calcular a velocidade final da gota, considerando que a gota e o lodo sofrem uma colisão inelástica. \[m_{i}\cdot v_{i} = m_{f}\cdot v_{f} \longrightarrow 0,05\cdot 3 = (0,05 + 0,005)\cdot v_{f} \longrightarrow v_{f} = 2,73\, mm/s\] Observação: Nas respostas esperadas da Unicamp, a estimativa de massa para a gota foi 0,03 g, porém são aceitos valores próximos a esse.

Questão 15

Os brinquedos de parques de diversões utilizam-se de princípios da Mecânica para criar movimentos aos quais não estamos habituados, gerando novas sensações. Por isso um parque de diversões é um ótimo local para ilustrar princípios básicos da Mecânica.
a) Considere uma montanha russa em que um carrinho desce por uma rampa de altura H=5m e, ao final da rampa, passa por um trecho circular de raio R=2m, conforme mostra a figura a) abaixo. Calcule o módulo da aceleração no ponto mais baixo do circuito, considerando que o carrinho partiu do repouso.
b) Outro brinquedo comum em parques de diversões é o chapéu mexicano, em que cadeiras são penduradas com correntes na borda de uma estrutura circular que gira com seu eixo de rotação perpendicular ao solo. Considere um chapéu mexicano com estrutura circular de raio R = 6,3 m e correntes de comprimento L = 2 m. Ao girar, as cadeiras se elevam 40 cm, afastando-se 1,2 m do eixo de rotação, conforme mostra a figura b) abaixo. Calcule a velocidade angular de rotação do brinquedo.

Solução:

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