Tangente da soma e da diferença de arcos

Fórmulas

A partir dos valores das tangentes de $$\alpha$$ e $$\beta$$ é possível calcular-se a tangente da soma de ambos, desde que se tenha $$\alpha+\beta\neq \frac{\pi+2k\pi}{2}$$. A fórmula da soma é dada por

\[tg(\alpha + \beta)=\frac{tg(\alpha)+tb(\beta)}{1-tg(\alpha)tg(\beta)}.\]

E a fórmula da diferença é dada por

\[tg(\alpha-\beta)=\frac{tg(\alpha)-tg(\beta)}{1+tg(\alpha)tg(\beta)}.\]

Exemplo 1

Calcule a tangente do ângulo de $$75º$$.

Usando $$tg(45º)=1$$ e $$tg(30º)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$, a fórmula fornece

\[tg(75º)=tg(30º+45º)=\frac{tg(30º)+tg(45º)}{1-tg(30º)tg(45º)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}\]

Exemplo 2

Calcule a tangente de $$15º$$.

Basta fazermos

\[tg(15º)=tg(45º-30º)=\frac{tg(45º)-tg(30º)}{1+tg(45º)tg(30º)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-1}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}\]

Exemplo 3

Veja como pode ser cobrado este conceito no vestibular.

Demonstração da Fórmula da Soma

Começamos observando que $$tg(\alpha + \beta)=\frac{sen(\alpha + \beta)}{cos(\alpha+\beta)}$$, donde segue, pelos senos e cossenos da soma, que

\[tg(\alpha + \beta)=\frac{sen(\alpha + \beta)}{cos(\alpha+\beta)}=\frac{sen(\alpha)cos(\beta)+sen(\beta)cos(\alpha)}{cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sen(\beta)}(*).\]

Dividindo o numerador e o denominador por $$cos(\alpha)cos(\beta)$$, de modo a manter a fração de cima idêntica, obtém-se

\[\frac{sen(\alpha)cos(\beta)\frac{1}{cos(\alpha)cos(\beta)}+sen(\beta)cos(\alpha)\frac{1}{cos(\alpha)cos(\beta)}}{cos(\alpha)cos(\beta)\frac{1}{cos(\alpha)cos(\beta)}-sen(\alpha)sen(\beta)\frac{1}{cos(\alpha)cos(\beta))}}.\]

\[=\frac{\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}}{1-\frac{sen(\alpha)sen(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}}+\frac{\frac{sen(\beta)}{cos(\beta)}}{1-\frac{sen(\alpha)sen(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}}.\]

A partir do fato de que $$tg(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$$ e $$tg(\beta)=\frac{sen(\beta)}{cos(\beta)}$$, chega-se à expressão da fórmula da soma.