Sobre um grupo $$G$$, com subgrupo $$H$$, define-se o conjunto $$X={xH,x\in G}$$, das classes laterais à esquerda de $$H$$.
a) Prove que o estabilizador $$G_{aH}$$ é subconjunto de $$aHa^{-1}$$.
b) Mostre que, para qualquer elemento $$aH\in X$$, tem-se $$|O_{aH}|=[G:H]$$.
Solução:
a) Seja $$g\in G_{aH}=\{g\in G| (g,aH)=aH\}$$, então $$gaH=aH$$.
Desse fato, decorre que existem $$h$$ e $$h’$$ em $$H$$ tais que $$gah = ah’$$. Desse modo,
\[gah=ah’ \Longrightarrow g = ah”a^{-1}.\]
Isso significa que existe $$h”\in H$$ tal que a expressão anterior ocorre, ou, em outras palavras, significa que $$g\in aHa^{-1}$$.
b) O número de classes laterais de $$H$$ é a cardinalidade do conjunto $$X$$, isto é: $$[G:H]=|X|$$. Basta mostrar que, dada qualquer classe $$aH$$, tem-se $$O_{aH}=X$$. A relação $$O_{aH}\subset X$$ já é estabelecida, falta provar apenas a inclusão inversa.
Com efeito, dada uma classe $$bH\in X$$, existe $$g\in G$$ tal que $$(g,aH)=bH$$. Tomando-se $$g=ba^{-1}$$, nota-se que
\[(g,aH)=ba^{-1}aH=bH.\]
Isto significa que qualquer elemento de $$X$$ é elemento da órbita $$O_{aH}$$. A conclusão é de que $$|O_{aH}|=|X|=[G:H]$$.
$$\square$$
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