Álgebra Linear – Base e Dimensão (Exercício 2)

Questão

Sejam $$u,v\in E$$, vetores linearmente independentes. Dado $$\alpha\neq 0$$, prove que o conjunto de dois elementos $$\{v,v+\alpha u\}$$ é uma base do subespaço gerado pelos vetores $$v,v+u,v+2u,…$$.

Solução:

Podemos escrever os vetores do referido conjunto, para algum$$k\in\mathbb{N}$$, da forma:

\[v+ku=av+b(v+\alpha u)=av+bv+b\alpha u\].

Com os escalares reais $$a$$ e $$b$$.

Deste modo, teremos: $$a+b=1$$ e $$b\alpha = k$$. Isto é, podemos obter, para qualquer $$k\in\mathbb{N}$$ e $$\alpha\neq 0$$, os valores de $$a$$ e $$b$$, bastando resolver o sistema das equações indicadas.

Provamos que o conjunto é gerador, agora precisamos provar que o conjunto é linearmente independente. Com efeito, para termos $$0_{E}=av+bv+b\alpha u=(a+b)v+(b\alpha) u$$, é necessário e suficiente que se tenha $$b=0$$ e $$a+b=0\Longrightarrow a = 0$$, pois $$v$$ e $$u$$ são linearmente independentes.

Portanto  $$\{v,v+\alpha u\}$$ é gerador e tem elementos linearmente independentes, ou seja, o conjunto é uma base do subespaço indicado.

Referências