Limite de Sequências – Exercício 2

Se $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$, então $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=|a|$$. Dê um contraexemplo, mostrando que a recíproca é falsa, salvo quando $$a=0$$.

Solução:

Por hipótese, sabemos que, dado $$ϵ>0$$, existe $$n_0\in \mathbb{N}$$, para o qual, se $$n>n_0$$, tem-se: $$|x_n-a|<ϵ$$.

Sabemos que a seguinte desigualdade é válida:

$$||x_n|-|a||\le |x_n-a|$$.

Portanto a sentença é mantida:

Por hipótese, sabemos que, dado $$ϵ>0$$, existe $$n_0\in \mathbb{N}$$, para $$n>n_0$$, tem-se: $$|x_n|-|a|<|x_n-a|<ϵ$$.

Portanto $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=|a|$$.

Observação: se tomarmos a sequência $$x_n=\{-1,1,-1,1,-1\dots \}$$, observamos que a sequência não possui limite, porém a sequência $$|x_n|=1$$, isto é, possui limite. Neste caso, temos:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=|-1|=1$$, mas \lim_{n\to\infty}x_{n}\neq 1$$.