Sejam $$lim_{n\to \infty}x_{n}=a$$ e $$lim_{n\to\infty} y_{n}=b$$. Se $$a<b$$, prove que existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, tal que, para todo $$n>n_{0}$$, $$x_{n}<y_{n}$$.
Solução:
Dado $$\epsilon>0$$, tomamos $$\epsilon/2>0$$, então existe $$n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}$$, tal que, para $$n>n_{0}$$, tem-se $$|x_{n}-a|<\epsilon/2$$ e $$|y_{n}-b|<\epsilon/2$$. Por hipótese, existe $$L>0$$ tal que $$b=L+a$$.
Assim, temos $$|x_{n}-a|=|a-x_{n}|=|b-L-x_{x}+y_{n}|<\epsilon/2$$.
Por outro lado:
\[|y_{n}-x_{n}-L|=|b-L-x_{n}+y_{n}-b|\leq|b-L-x_{n}|+|y_{n}-b|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon\].
Isto é, $$|y_{n}-x_{n}-L|<\epsilon$$.
Em outras palavras, uma das desigualdades obtidas é $$L-\epsilon < y_{n}-x_{n}$$. Tomando $$\epsilon = L$$, ter-se-á $$0<y_{n}-x_{n}\Longrightarrow x_{n}<y_{n}$$, para todo $$n>n_{0}$$.
