Limite de Sequências – Exercício 8
Prove que a sequência $$a_{n}=\frac{n}{3^{n+1}}$$ é convergente. Solução:
Limite de Sequências
Limite de Sequências – Exercício 7
Calcule o limite da sequência $$\frac{n²+2}{2n³+n-1}$$. Solução: Podemos reescrever a fração deste modo: $$\frac{n²+2}{2n³+n-1}=\frac{n²}{n³}\cdot\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n³}}{2+\frac{1}{n²}-\frac{1}{n³}}$$. Sabemos que $$lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0, lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}+\frac{2}{n³} = 0$$ e $$lim_{n\to\infty}2+\frac{1}{n²}-\frac{1}{n³}...
Limite de Sequências e Séries – Exercícios resolvidos
Calcule e justifique, se houver, o limite $$lim_{n\to\infty} a_{n}$$, em que $$a_{n}=\frac{n+1}{2n-1}$$. Solução $$a_{n}=\frac{n²+1}{n}$$. Solução $$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$$. Solução Mostre a convergência das sequências a seguir....
Limite de Sequências – Exercício 6
Qual é o limite da sequência $$\frac{n²+1}{n}$$ ? Solução: A sequência é divergente. Podemos provar ao usarmos uma das regras operacionais de limites. Para isso,...
Limite de Sequências – Exercício 5
Caso exista, calcule o limite da sequência $$\frac{(-1)^{n}}{n}+2$$. Solução: Observe que a sequência é $$2-1 ; 2+\frac{1}{2} ; 2 – \frac{1}{3},…$$. Apesar de sua alternância,...
Limite de Sequências – Exercício 4
Se existir o limite de (2n²+1)/(3n²-n): $$lim_{n\to\infty}\frac{2n²+1}{3n²-n}$$. Solução: Vamos dividir o numerador e o denominador por $$n²$$, e a fração será mantida, com uma nova...
Limite de Sequências – Exercício 3
Calcule, se existir, o limite da sequência (n+1)/(2n-1): $$lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1}$$. Solução: Se dividirmos numerador e denominador por $$n$$, a fração é mantida e é reescrita como...
Limite de Séries – Exercício 2
Mostre se a série $$\sum^{\infty}_{n=1}ln(\frac{n}{n+1})$$ é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu limite. Solução:
Limite de Séries – Exercício 1
Calcule, se existir, o limite $$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2n-1}\cdot\frac{1}{2n+1}$$. Solução:
Limite de Sequências – Exercício 1
Sejam $$lim_{n\to \infty}x_{n}=a$$ e $$lim_{n\to\infty} y_{n}=b$$. Se $$a<b$$, prove que existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, tal que, para todo $$n>n_{0}$$, $$x_{n}<y_{n}$$. Solução: Dado $$\epsilon>0$$, tomamos $$\epsilon/2>0$$, então existe...
Limite de Sequências – Exercício 2
Se $$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$$, então $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$. Dê um contraexemplo, mostrando que a recíproca é falsa, salvo quando $$a=0$$. Solução: Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe...