Limites de funções (exercício 1)

Sejam $$f:X \longrightarrow \mathbb{R}$$, $$a\in X’$$ e $$Y=f(X-\{a\})$$. Se $$lim_{x\to a}f(x)=L$$, então $$L\in\bar{Y}$$.

Solução:

Da hipótese do limite, para qualquer $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que, se $$x\in (a-\delta ; a+\delta)$$, é certo que $$f(x)\in (L-\epsilon ; L+\epsilon)$$.

Da hipótese de que $$a\in X’$$, existe $$x\neq a$$ tal que $$x\in (a-r ; a + r) \cap X$$, para todo $$r>0$$, e, por definição da imagem, $$f(x)\in Y=f(X-\{a\})$$.

Pondo $$r=\delta$$, conclui-se que, para todo $$\epsilon>0$$, existe $$f(x)\in (L-\epsilon ; L+\epsilon)\cap Y$$, isto é, $$L\in \bar{Y}$$.