Álgebra Linear
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Autovalores – Exercício 6

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Seja o conjunto de vetores $$\{v_{1},…,v_{k}\}$$ associados aos autovalores $$\{\lambda_{1},…,\lambda_{k}\}$$ distintos de uma matriz $$A_{n\times n}$$. Prove que os vetores são linearmente independentes.

Demonstração:

Provaremos, inicialmente, para o caso em que $$k=2$$. Supondo, por absurdo, que $$v_{2}=\alpha v_{1}$$ — os autovetores são linearmente dependentes. Temos, por hipótese, que $$\lambda_{1}(\alpha v_{2})=\lambda v_{1}=Av_{1}=A(\alpha v_{2})=\alpha(Av_{2})=\alpha\lambda_{2} v_{2}$$. Daqui, temos a igualdade

\[\alpha(\lambda_{1}-\lambda_{2})=0,\]

se, e somente se, $$\alpha = 0$$ ou $$\lambda_{1}=\lambda_{2}$$. Por absurdo, como todos os autovalores são distintos, não se pode ter um escalar $$\alpha$$ que faz com que $$v_{1}=\alpha v_{2}$$.

Etapa k+1

Assumindo a hipótese de indução, precisamos mostrar que os $$k+1$$ autovetores associados aos $$k+1$$ autovalores são linearmente independentes. Suponhamos que existam $$r$$ vetores do conjunto $$\{v_{1},…,v_{k}\}$$ e $$r$$ escalares para os quais $$v_{k+1}=\sum_{s=1}^{r}\beta_{j_{r}}v_{j_{r}}$$. Isso é: estamos supondo que o vetor de ordem $$k+1$$ é combinação linear de alguns vetores do conjunto original. Por hipótese, sabemos que

\[\lambda_{k+1}(\sum_{s=1}^{r}\beta_{j_{r}}v_{j_{r}})=\]

\[\lambda_{k+1}v_{k+1}=Av_{k+1}=A(\sum_{s=1}^{r}\beta_{j_{r}}v_{j_{r}})=\]

\[\sum_{s=1}^{r}\lambda_{j_{r}}\beta_{j_{r}}v_{j_{r}}.\]

Daqui, temos a igualdade

\[\lambda_{k+1}(\sum_{s=1}^{r}\beta_{j_{r}}v_{j_{r}})-(\sum_{s=1}^{r}\lambda_{j_{r}}\beta_{j_{r}}v_{j_{r}})\Longrightarrow\]

\[(\sum_{s=1}^{r}(\lambda_{k+1}-\lambda_{j_{r}})\beta_{j_{r}}v_{j_{r}})=0.\]

Note que a igualdade anterior só é válida se tivermos $$(\lambda_{k+1}-\lambda_{j_{r}})=0$$, para todo $$r\in\{1,..,s\}$$, uma vez que os coeficientes $$\beta_{j_{r}}$$ devem ser diferentes de zero, por hipótese da combinação linear, e uma vez que qualquer soma de vetores de algum subconjunto de $$\{v_{1},..,v_{k}\}$$ é, por hipótese indutiva, linearmente independente.

Por contradição, chegamos à conclusão de que não existem os escalares $$\beta_{j_{r}}$$, para qualquer $$r\in\{1,..,k\}$$, que fazem de $$v_{k+1}$$ uma combinação linear dos k vetores anteriores. Logo, $$\{v_{1},,.,v_{k+1}\}$$ é um conjunto linearmente independente.

Tags: autovalor, autovalores, autovetor

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