Lógica Matemática – Conjuntos – Exercício 8
Prove que A = B se, e somente se, (A∩ Bc)∪(Ac ∩ B) = ∅. Solução:
Lógica
Família de Conjuntos – Exercício 2
Dada uma família de conjuntos $$(A_{\lambda})\_{\lambda\in L}$$, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: para todo $$\lambda\in L$$, tem-se $$A_{\lambda}\subset X$$; se $$A_{\lambda}\subset Y$$,...
Lógica Matemática – Teorema 2 – Filtros
Seja $$\mathcal{F}$$ um filtro das partes de $$I$$. Um filtro próprio, para o qual vale que ou $$A\in\mathcal{F}$$, ou $$A^{C}\in\mathcal{F}$$, para qualquer $$A\subset I$$, é...
Lógica Matemática – Teorema 1 – Filtros
O subconjunto $$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(I)$$ um filtro se, e somente se, vale a regra a seguir: \[A\cap B\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A,B\in\mathcal{F}.\] Demonstração 1) Válida a regra, demonstra-se que $$\mathcal{F}$$...
Lógica Matemática – Lema sobre Filtros
Lema Seja $$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(I)$$ um filtro. Seja $$B$$ um subconjunto próprio de $$I$$. Tem-se $$B\in\mathcal{F}$$ se, e somente se, existirem $$n\in\mathbb{N}$$ e uma família $$\{A_{i}\}_{i=1}^{n}\subset\mathcal{F}$$ tais...
Teoria dos Números – Divisibilidade (exercício 1)
Questão Divisibilidade por 9. Para $$n\in\mathbb{N}$$, $$4^{n}+6n-1$$ é divisível por 9. Solução: Nota-se que, para $$n=1$$, tem-se $$4^{1}+6\cdot 1 – 1 = 9$$, que...
Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 7)
Seja uma função $$\sigma:S\longrightarrow U$$, em que $$S$$ e $$U$$ são conjuntos quaisquer. Define-se $$\sigma_{A}(x)=\sigma(x)$$, para todo $$A\subset S$$, como a restrição da função sobre...
Matemática – Lista de Exercícios de Funções
Exercício 1 Seja uma função $$f:X\longrightarrow Y$$, e sejam $$A$$ e $$B$$ subconjuntos de $$X$$. Então $$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$$. Solução (clique aqui) Exercício...
Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 6)
Sejam as funções $$f:A\longrightarrow B$$ e $$g:B\longrightarrow C$$. a) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é injetiva, $$f$$ é injetiva. b) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$...
Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 5)
Seja uma função $$f:A\longrightarrow B$$. a) Prove que $$f(f^{-1}(Y))\subset Y$$, para todo $$Y\subset B$$. b) Prove que $$f$$ é sobrejetora se, e somente se, $$f(f^{-1}(Y))=...
Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 4)
Seja uma função $$f:A\longrightarrow B$$. a) Prove que $$X\subset f^{-1}(f(X))$$, para todo $$X\subset A$$. b) Prove que a função é injetora se, e somente se,...
Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 3)
Seja uma função $$f:X\longrightarrow Y$$, e sejam $$A$$ e $$B$$ subconjuntos de $$X$$. Então $$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$$. Demonstração: De fato, seja $$p\in f(A\cap B)$$....