Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e
Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?
a) 71
b) 75
c) 80
d) 83
e) 87
Solução:
O número de comissões que podem ser formadas com Andréia é a combinação de todos os alunos da classe, com exceção de Manoel e Alberto, tomados 5 a 5, ou seja: $$C_{7,5}=\frac{7!}{2!5!}=\frac{7\cdot 6}{2!}=21$$.
O número de comissões que podem ser formadas sem a Andréia é a combinação de todos os alunos da classe, exceto ela própria, ou seja $$C_{8,5}=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3!}=56$$.
Podemos somar os números obtidos anteriormente, mas devemos excluir todas as comissões que foram contadas nos dois casos anteriores. Observe que, se tirarmos Andréia, Manoel e Alberto, teremos $$C_{6,5}=\frac{6!}{1!5!}=6$$. Essa quantidade de comissões sem os três encrenqueiros foi contabilizado duas vezes, portanto o total de comissões pedido no enunciado é de $$21+56-6 = 71$$.
