Definição de Derivada

Definição de Derivada

A derivada de uma função num ponto específico corresponde ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico daquela função naquele ponto. Para ilustrar, temos um exemplo com a função $$f(x)=x^3+2$$ e a reta tangente à curva no ponto $$(1,f(1))$$.

A definição da Derivada é construída sobre o conceito de limite. Dizemos que a derivada de uma função, $$f:A\subset \mathbb{R}⟶\mathbb{R}$$, no ponto $$a\in A$$, denotada por $$f^{\prime }(a)$$, é o limite abaixo, caso exista:

$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Das propriedades de Função Composta dos limites, podemos reescrever a definição como

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$

caso o limite exista.

Equação da Reta Tangente

Em qualquer ponto $$a$$ do domínio da função, podemos definir a equação da Reta Tangente ao gráfico como $$y-f(a)=f^{\prime }(a)\cdot (x-a).$$