Matemática Financeira
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Fórmula de Prestações da Tabela Price

O Sistema Price (Sistema Francês de Amortização) é largamente utilizado no mercado. Apesar de um pouco complicado, o cálculo das prestações, que são constantes, do sistema postecipado é obtido a partir da soma de uma Progressão Geométrica.

Seja i a taxa de juros, seja n o número de prestações e seja $$V_{0}$$ o valor do empréstimo, então as prestações (P) são dadas pela fórmula

\[P = V_{0}\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.\]

Compreendendo a fórmula

Ao final do primeiro mês, o valor devido é $$V_{0}(1+i)$$. Ocorre o pagamento da parcela, e o mês consecutivo termina com uma dívida de $$V_{0}(1+i)-P$$. Quando aplicada novamente a taxa de juros e efetuado o pagamento da nova parcela, a dívida passa a ser

\[v_{0}(1+i)^{2}-P(1+i)-P.\]

Indutivamente, após os n meses (ou períodos) de pagamento, a dívida será nula, então teremos sua expressão:

\[V_{0}(1+i)^{n}-P(1+i)^{n-1}-…-P(1+i)-P=0.\]

Notamos que $$P(1+i)^{n-1}+…+P(1+i)+P=$$

\[P[(1+i)^{n-1}+…+(1+i)+1].\]

A expressão do interior dos colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão igual a $$(1+i)$$ e de termo inicial igual a P, então, aplicando-se a fórmula da soma da PG, temos:

\[V_{0}(1+i)^{n}-P\frac{(1+i)^{n}-1}{i}=0.\]

Rearranjando a fórmula, obtemos finalmente a conhecida expressão

\[P=\frac{V_{0}(1+i)^{n}\cdot i}{(1+i)^{n}-1}.\]

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